《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 3 已知集合$A = \{ x \mid -2 \leq x \leq 5 \},B = \{ x \mid m + 1 \leq x \leq 2m - 1 \}$，且$B \neq \varnothing$，若命题$p$：“$\forall x \in B,x \in A$”是真命题，求实数$m$的取值范围.
听课笔记：
［变式探究］ 1. (变条件)把本例中命题$p$改为“$\exists x \in A,x \in B$”，求实数$m$的取值范围.
2. (变条件，变结论)把本例中的命题$p$改为“$\forall x \in A,x \in B$”，是否存在实数$m$，使命题$p$是真命题？若存在，求出实数$m$的取值范围；若不存在，说明理由.

答案： 典例3 解:由于命题$ p $:“$ \forall x\in B,x\in A $”是真命题,所以$ B\subseteq A $,因为$ B\neq\varnothing $,所以$ \begin{cases}m + 1\leqslant2m - 1,\\m + 1\geqslant - 2,\\2m - 1\leqslant5,\end{cases} $解得$ 2\leqslant m\leqslant3 $.即实数$ m $的取值范围为$ \{m\mid2\leqslant m\leqslant3\} $.
@@［变式探究］ 1.解:由于命题$ p $:“$ \exists x\in A,x\in B $”是真命题,所以$ A\cap B\neq\varnothing $,因为$ B\neq\varnothing $,所以$ m + 1\leqslant2m - 1 $,即$ m\geqslant2 $.所以$ \begin{cases}-2\lt m + 1\leqslant5,\\m\geqslant2,\end{cases} $或$ \begin{cases}-2\lt2m - 1\leqslant5,\\m\geqslant2,\end{cases} $解得$ 2\leqslant m\leqslant4 $.所以实数$ m $的取值范围为$ \{m\mid2\leqslant m\leqslant4\} $.
@@2.解:若命题$ p $:“$ \forall x\in A,x\in B $”是真命题,则$ A\subseteq B,B\neq\varnothing $.所以$ \begin{cases}m + 1\leqslant2m - 1,\\m + 1\leqslant - 2,\\2m - 1\geqslant5,\end{cases} $无解,所以不存在实数$ m $,使命题$ p $是真命题.

对点练 3. 若命题“$\exists x \in \mathbf{R},x^2 - 4x + a = 0$”为真命题，求实数$a$的取值范围.

答案： 对点练3.解:因为命题“$ \exists x\in\mathbf{R},x^{2}-4x + a = 0 $”为真命题,
所以方程$ x^{2}-4x + a = 0 $存在实数根,
则$ \Delta = (-4)^{2}-4a\geqslant0 $,解得$ a\leqslant4 $.
即实数$ a $的取值范围为$ \{a\mid a\leqslant4\} $.

1. 下列命题中，既是存在量词命题也是假命题的是 (D)

A.至少有一个整数，它既能被 11 整除，又能被 9 整除
B.有些梯形是等腰梯形
C.对任意非零实数$x_1,x_2$，若$x_1 ＜ x_2$，则$\frac{1}{x_1} ＞ \frac{1}{x_2}$
D.$\exists x \in \mathbf{R},x^2 + 2x + 2 ＜ 0$

答案： 1.D

2. (多选)下列命题中是真命题的是 (AB)

A.$\exists x \in \mathbf{R},x^3 = 3$
B.$\exists x \in \mathbf{R},3x + 1$是整数
C.$\forall x \in \mathbf{R},|x| ＞ 3$
D.$\forall x \in \mathbf{Q},x^2 \in \mathbf{Z}$

答案： 2.AB

3. 已知$\forall x \in \{ x \mid 1 \leq x ＜ 3 \}$，都有$m ＞ x$，则实数$m$的取值范围为 (A)

A.$\{ m \mid m \geq 3 \}$　　
B.$\{ m \mid m ＞ 3 \}$
C.$\{ m \mid m ＞ 1 \}$　　
D.$\{ m \mid m \geq 1 \}$

答案： 3.A

4. 若“$\exists x \in \mathbf{R},x^2 = m$”是假命题，则实数$m$的取值范围是$ \boldsymbol{\{m\mid m\lt0\}} $.

答案： 4.$ \boldsymbol{\{m\mid m\lt0\}} $