《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 3 已知$p: -2 \leq x \leq 10$，$q: 1 - m \leq x \leq 1 + m(m ＞ 0)$，若$p$是$q$的必要不充分条件，求实数$m$的取值范围.
听课笔记：
[变式探究]
1. (变条件)若将本例中“$p$是$q$的必要不充分条件”改为“$p$是$q$的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数$m$的取值范围.
2. (变设问)本例中$p$，$q$不变，是否存在实数$m$，使$p$是$q$的充要条件？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由.

答案： 解:$ p:-2 \leq x \leq 10 $,$ q:1 - m \leq x \leq 1 + m(m ＞ 0) $.因为$ p $是$ q $的必要不充分条件,所以$ q $是$ p $的充分不必要条件,即$ \{x|1 - m \leq x \leq 1 + m\} \subsetneqq \{x|-2 \leq x \leq 10\} $,故有$ \begin{cases} 1 - m \geq -2, \\ 1 + m ＜ 10, \end{cases} $或$ \begin{cases} 1 - m ＞ -2, \\ 1 + m \leq 10, \end{cases} $解得$ m \leq 3 $.又$ m ＞ 0 $,所以实数$ m $的取值范围为$ \{m|0 ＜ m \leq 3\} $.
@@1.解:$ p:-2 \leq x \leq 10 $,$ q:1 - m \leq x \leq 1 + m(m ＞ 0) $.因为$ p $是$ q $的充分不必要条件,设$ p $代表的集合为$ A $,$ q $代表的集合为$ B $,所以$ A \subsetneqq B $.所以$ \begin{cases} 1 - m \leq -2, \\ 1 + m ＞ 10, \end{cases} $或$ \begin{cases} 1 - m ＜ -2, \\ 1 + m \geq 10, \end{cases} $解得$ m \geq 9 $,即实数$ m $的取值范围为$ \{m|m \geq 9\} $.2.解:因为$ p:-2 \leq x \leq 10 $,$ q:1 - m \leq x \leq 1 + m(m ＞ 0) $.若$ p $是$ q $的充要条件,则$ \begin{cases} -2 = 1 - m, \\ 10 = 1 + m, \end{cases} $ $ m $不存在,故不存在实数$ m $,使得$ p $是$ q $的充要条件.

对点练 3. (1)若“$-1 ＜ x ＜ 1$”是“$1 ＜ -2x + m ＜ 5$”的充要条件，则实数$m =$3.

答案：
(1)3 由$ 1 ＜ -2x + m ＜ 5 $得$ 1 - m ＜ -2x ＜ 5 - m $,
故$ \frac{1}{2}(m - 5) ＜ x ＜ \frac{1}{2}(m - 1) $,因为“$ -1 ＜ x ＜ 1 $”是“$ 1 ＜ -2x + m ＜ 5 $”的充要条件,所以$ \begin{cases} \frac{1}{2}(m - 5) = -1, \\ \frac{1}{2}(m - 1) = 1, \end{cases} $解得$ m = 3 $.

(2)设集合$A = \{x | x^2 + x - 6 = 0\}$，$B = \{x | mx - 2 = 0\}$，则$B$是$A$的真子集的一个充分不必要条件是 (B)

A.$m \in \{0, \frac{2}{3}\}$
B.$m \in \{0, -\frac{2}{3}\}$
C.$m \in \{0, -\frac{2}{3}, 1\}$
D.$m \in \{0, \frac{2}{3}, 1\}$

答案：
(2)B $ A = \{x|x^{2} + x - 6 = 0\} = \{2, -3\} $,
若$ m = 0 $,则$ B = \varnothing $,$ B \subsetneqq A $;若$ m = 1 $,则$ B = \{2\} \subsetneqq A $;若$ m = -\frac{2}{3} $,则$ B = \{-3\} \subsetneqq A $;所以$ B \subsetneqq A $的一个充分不必要条件是$ m \in \{0, -\frac{2}{3}\} $.故选B.

1. “$|x| = 1$”是“$x^2 = 1$”的 (C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.C

2. 点$P(x, y)$是第二象限的点的充要条件是 (B)

A.$x ＜ 0, y ＜ 0$
B.$x ＜ 0, y ＞ 0$
C.$x ＞ 0, y ＞ 0$
D.$x ＞ 0, y ＜ 0$

答案： 2.B

3. 函数$y = x^2 + mx + 1$的图象关于直线$x = 1$对称的充要条件是$m = -2 $.

答案： 3.$ m = -2 $

4. 已知“$p: x ＞ m + 3$或$x ＜ m$”是“$q: -4 ＜ x ＜ 1$”成立的必要不充分条件，则实数$m$的取值范围是$\{m|m \leq -7,或m \geq 1\}$.

答案： 4.$ \{m|m \leq -7,或m \geq 1\} $