《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例1 (1)若$a ＞ b$，$x ＞ y$，则下列不等式正确的是(C)
A.$a + x ＜ b + y$
B.$ax ＞ by$
C.$|a|x\geq|a|y$
D.$(a - b)x ＜ (a - b)y$

答案： 典例1
(1)C
(2)A
(1)因为当$a \neq 0$时，$\vert a \vert ＞ 0$，由$x ＞ y$，得$\vert a \vert x ＞ \vert a \vert y$；由$a = 0$时，$\vert a \vert x = \vert a \vert y$。因此$\vert a \vert x \geqslant \vert a \vert y$。选项A，B，D均不满足不等式性质，不正确，故选C。

(2)已知$0 ＜ a ＜ \frac{1}{b}$，且$M=\frac{1}{1 + a}-\frac{b}{1 + b}$，$N=\frac{a}{1 + a}-\frac{1}{1 + b}$，则$M$，$N$的大小关系是(A)
A.$M ＞ N$
B.$M ＜ N$
C.$M = N$
D.不能确定

答案：
(2)因为$0 ＜ a ＜ \frac{1}{b}$，所以$1 + a ＞ 0$，$1 + b ＞ 0$，$ab ＜ 1$。$M - N = \frac{1}{1 + a} - \frac{b}{1 + b} - \left( \frac{a}{1 + a} - \frac{1}{1 + b} \right) = \frac{1 - a}{1 + a} + \frac{1 - b}{1 + b} = \frac{2(1 - ab)}{(1 + a)(1 + b)} ＞ 0$，所以$M ＞ N$。故选A。

对点练1.(1)若$a,b,c\in R$，$a ＞ b$，则下列不等式成立的是(C)

A.$\frac{1}{a}＜ b$
B.$a^2 ＞ b^2$
C.$\frac{a}{c^2 + 1}＞\frac{b}{c^2 + 1}$
D.$a|c| ＞ b|c|$

答案： 对点练1.
(1)C
(1)取$a = 1$，$b = -1$，排除选项A，B；取$c = 0$，排除选项D；显然$\frac{1}{c^2 + 1} ＞ 0$，所以$\frac{a}{c^2 + 1} ＞ \frac{b}{c^2 + 1}$成立。故选C。