《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

对点练4.已知$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且$\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{y}=2$，若$x + 2y ＞ m^2 - 3m - 1$恒成立，则实数$m$的取值范围是(C)

A.$m\leq - 1$，或$m\geq4$
B.$m\leq - 4$，或$m\geq1$
C.$-1 ＜ m ＜ 4$
D.$-4 ＜ m ＜ 1$

答案： 对点练4. C 由$\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{y} = 2$得$2y + x + 1 = 2(x + 1)y$，所以$x + 1 = 2xy$，所以$2y = 1 + \frac{1}{x}$，所以$x + 2y = x + \frac{1}{x} + 1 \geqslant 2\sqrt{x · \frac{1}{x}} + 1 = 3$，当且仅当$x = 1$，$y = 1$时，等号成立，所以$(x + 2y)_{\min} = 3$，所以$x + 2y ＞ m^2 - 3m - 4$恒成立，可化为$3 ＞ m^2 - 3m - 1$，即$m^2 - 3m - 4 ＜ 0$，解得$-1 ＜ m ＜ 4$。故选C。

典例5 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为$10$万元/辆，出厂价为$12$万元/辆，年销售量为$10000$辆. 本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本. 若每辆车投入成本增加的比例为$x(0 ＜ x ＜ 1)$，则出厂价提高的比例为$0.75x$，同时预计年销售量增加的比例为$0.6x$，已知年利润=（出厂价 - 投入成本）×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润$y$（单位：万元）与投入成本增加的比例$x$的关系式；
(2)为使本年度的年利润与上年度相比有所增加，则投入成本增加的比例$x$应在什么范围内？
听课笔记：

答案： 典例5 解：
(1)由题意得$y = [12(1 + 0.75x) - 10(1 + x)] × 10 000 × (1 + 0.6x)(0 ＜ x ＜ 1)$，整理得$y = -6 000x^2 + 2 000x + 20 000(0 ＜ x ＜ 1)$。
(2)要保证本年度的年利润与上年度相比有所增加，则$y - (12 - 10) × 10 000 ＞ 0(0 ＜ x ＜ 1)$，即$-6 000x^2 + 2 000x ＞ 0(0 ＜ x ＜ 1)$，解得$0 ＜ x ＜ \frac{1}{3}$，所以投入成本增加的比例$x$的取值范围是$\left\{ x \mid 0 ＜ x ＜ \frac{1}{3} \right\}$。

对点练5.现要围建一个面积为$360m^2$的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为$2m$的进出口，如图所示. 已知旧墙的维修费用为$45$元/m，新墙的造价为$180$元/m. 设利用的旧墙长度为$x$（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为$y$（单位：元）.
(1)用$x$表示$y$；
(2)试确定$x$，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

答案： 对点练5. 解：
(1)设矩形的另一边长为$a\ m$，
则$y = 45x + 180(x - 2) + 180 × 2a = 225x + 360a - 360$，由已知得$xa = 360$，得$a = \frac{360}{x}$。
所以$y = 225x + \frac{129 600}{x} - 360(x ＞ 0)$。
(2)因为$x ＞ 0$，所以$225x + \frac{360^2}{x} \geqslant 2\sqrt{225x × \frac{360^2}{x}} = 10 800$，
所以$y = 225x + \frac{360^2}{x} - 360 \geqslant 10 440$，当且仅当$225x = \frac{360^2}{x}$，即$x = 24$时，等号成立。
故当$x = 24\ m$时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是$10 440$元。

真题1 (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若$x$，$y$满足$x^2 + y^2 - xy = 1$，则(BC)

A.$x + y\leq1$
B.$x + y\geq - 2$
C.$x^2 + y^2\leq2$
D.$x^2 + y^2\geq1$

答案： 真题1. BC 因为$x^2 + y^2 - xy = (x + y)^2 - 3xy = 1$，且$xy \leqslant \frac{(x + y)^2}{4}$，所以$(x + y)^2 - 3xy \geqslant (x + y)^2 - \frac{3}{4}(x + y)^2 = \frac{1}{4}(x + y)^2$，故$(x + y)^2 \leqslant 4$，当且仅当$x = y$时等号成立，即$-2 \leqslant x + y \leqslant 2$，故A错误，B正确；由$xy \leqslant \frac{x^2 + y^2}{2}$得$1 = x^2 + y^2 - xy \geqslant x^2 + y^2 - \frac{x^2 + y^2}{2}$，即$x^2 + y^2 \leqslant 2$，当且仅当$x = y$时等号成立。取$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$x^2 + y^2 = \frac{2}{3}$，故C正确，D错误。故选BC。

真题2 (1)(2020·天津卷)已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且$ab = 1$，则$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a + b}$的最小值为4.

答案： 真题2.
(1)4
(2)$4\sqrt{3}$
(1)$\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} + \frac{8}{a + b} = \frac{a + b}{2ab} + \frac{8}{a + b} = \frac{a + b}{2} + \frac{8}{a + b} \geqslant 2\sqrt{\frac{a + b}{2} · \frac{8}{a + b}} = 4$，当且仅当$\frac{a + b}{2} = \frac{8}{a + b}$，即$(a + b)^2 = 16$，即$a + b = 4$时取等号，又因为$ab = 1$，所以$\begin{cases} a = 2 + \sqrt{3}, \\ b = 2 - \sqrt{3}, \end{cases}$或$\begin{cases} a = 2 - \sqrt{3}, \\ b = 2 + \sqrt{3} \end{cases}$时取等号，所以$\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} + \frac{8}{a + b}$的最小值为4。

(2)(2019·天津卷)设$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$x + 2y = 5$，则$\frac{(x + 1)(2y + 1)}{\sqrt{xy}}$的最小值为4\sqrt{3}.

答案：
(2)因为$x + 2y = 5$，$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，所以$\frac{(x + 1)(2y + 1)}{\sqrt{xy}} = \frac{x + 2y + 2xy + 1}{\sqrt{xy}} = \frac{2xy + 6}{\sqrt{xy}} = 2\sqrt{xy} + \frac{6}{\sqrt{xy}} \geqslant 2\sqrt{2\sqrt{xy} · \frac{6}{\sqrt{xy}}} = 4\sqrt{3}$，当且仅当$\begin{cases} x + 2y = 5, \\ 2\sqrt{xy} = \frac{6}{\sqrt{xy}}, \end{cases}$即$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1, \end{cases}$或$\begin{cases} x = 2, \\ y = \frac{3}{2} \end{cases}$时，等号成立，即原式取得最小值$4\sqrt{3}$。