《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

新知构建
1. 诱导公式五
$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = $cosα$$，$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = $sinα$$.
2. 诱导公式六
$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = $cosα$$，$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = $-sinα$$.

答案： 1. $\cos\alpha$ $\sin\alpha$
2. $\cos\alpha$ $-\sin\alpha$

典例1（链教材P193例4）
化简：$\frac{\sin(4\pi - \alpha)\cos\left(\frac{9\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{11\pi}{2} + \alpha\right)\cos(2\pi - \alpha)}$.
听课笔记：

答案： 解：因为$\sin(4\pi-\alpha)=\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$，$\cos\left(\frac{9\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\left[4\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$，$\sin\left(\frac{11\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\left[6\pi-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right]=-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha$，所以原式$=\frac{\sin\alpha\sin\alpha}{-\cos\alpha\cos\alpha}=-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=-\tan^2\alpha$。

对点练1. 化简：$\sin(-\alpha - 5\pi)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\cos(\alpha - 2\pi)$.

答案： 解：原式$=\sin(-\alpha-\pi)\cos\left[-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right]-\sin\left[\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]\cos\left[-(2\pi-\alpha)\right]=\sin\left[-( \alpha+\pi)\right]\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\cos(2\pi-\alpha)=-\sin(\alpha+\pi)\sin\alpha+\cos\alpha\cos\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$。

典例2（链教材P193例5）
（1）已知$\tan\alpha = 3$，求$\frac{\sin(\alpha - \pi) + \cos(\pi - \alpha)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}$的值；
（2）已知$\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2}$，求$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) · \sin\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right)$的值.
听课笔记：

答案： 解：
(1) $\frac{\sin(\alpha-\pi)+\cos(\pi-\alpha)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{-\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\frac{-\tan\alpha - 1}{1-\tan\alpha}=\frac{-3 - 1}{1 - 3}=2$。
(2) $\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)·\sin\left(\frac{2\pi}{3}+\alpha\right)=\cos\left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\right]·\sin\left[\pi-\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\right]=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)·\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。

对点练2. (1)已知$\sin(\pi + \alpha) = \frac{1}{2}$，则$\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) =$(A)

A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：
(1) A 由$\sin(\pi+\alpha)=\frac{1}{2}$得$\sin\alpha=-\frac{1}{2}$。所以$\cos\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\alpha=\frac{1}{2}$，故选A。

(2)已知$\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3}$，则$\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) =$(D)

A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$-\frac{1}{3}$

答案：
(2) D 因为$\frac{\pi}{4}+\alpha-\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$，所以$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos\left[\frac{\pi}{2}+\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\right]=-\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{3}$。故选D。