《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 3 某公司五年的年利润（单位：千万元）列表如下：

为了描述从第 1 年开始年利润$y$随年份$x$的变化关系，现有以下三种模型供选择：
①$y = \frac{a}{x} + b$，②$y = ax^2 + b$，③$y = b · a^x$（以上各式均有$a ＞ 0$，$b ＞ 0$）.
(1) 请你从这三个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型并简要说明理由，再利用表格中第 2 年和第 3 年的数据对剩下的两种模型进行建模，求出这两种模型下第 5 年的公司利润，并说明哪个模型更好；
(2) 利用(1)中较好的模型，预计该公司第几年的年利润会超过 10 亿元.（参考数据：$\lg 2 \approx 0.3010$，$\lg 3 \approx 0.4771$）
听课笔记：

答案： 解:
(1)去掉模型①.
理由:函数模型①是减函数，而所给数据表明函数是增函数.
若用模型②,
则{4a + b = 1.5, 9a + b = 2.25},所以{a = 0.15, b = 0.9},所以y = 0.15x² + 0.9.
若用模型③,
则{b·a² = 1.5, b·a³ = 2.25},所以{a = 3/2, b = 2/3},所以y = 2/3(3/2)^x.
当x = 5时,利用模型②得y = 4.65,利用模型③得y = 81/16 = 5.0625,4.96−4.65 = 0.31,5.0625−4.96 = 0.1025,0.31＞0.1025,
所以模型③更好.
(2)利用模型③得(3/2)^(x - 1)＞100,
两边同时取对数得(x - 1)lg(3/2)＞2,
所以x＞2/(lg3−lg2)+1≈2/(0.4771−0.3010)+1≈12.36.
所以预计第13年该公司的年利润会超过10亿元.

对点练 3. 人类已进入大数据时代. 目前，数据量已经从 TB（1 TB = 1 024 GB）级别跃升到 PB（1 PB = 1 024 TB）乃至 EB（1 EB = 1 024 PB）甚至 ZB（1 ZB = 1 024 EB）级别. 国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2012 年起全球每年产生的数据量如下表所示：

(1) 设 2012 年为第一年，为较好地描述 2012 年起第$x$年全球产生的数据量（单位：ZB）与$x$的关系，根据上述信息，从函数$f(x) = kx + b$和$g(x) = ab^x$中选择一个，应选择哪一个更合适？（不用说明理由）
(2) 根据(1)中所选的函数模型，若选取 2012 年和 2024 年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年全球产生的数据量将达到 2024 年的$10^{\frac{11}{12}}$倍.（参数数据：$\lg 2 \approx 0.3$）

答案：
解:
(1)由题意可得下表,
 
画出散点图如下:
由图易得,5个点在一条曲线上,应选择g(x) = ab^x.
(2)由题意得,{g
(1) = ab = 0.5, g
(13) = ab¹³ = 80},解得{a = $\frac{1}{2}$ × 160^($\frac{-1}{12}$), b = 160^($\frac{1}{12}$)},则g(x) = $\frac{1}{2}$ × 160^((x - 1)/12).
令g(x)≥80 × 10^($\frac{11}{4}$)⇒160^((x - 1)/12)≥10^($\frac{11}{4}$)⇒x≥11/(lg160)+13 = 11/(4lg2 + 1)+13≈18,又2012 + 18 - 1 = 2029,
故预计到2029年全球产生的数据量将达到2024年的10^($\frac{11}{4}$)倍.