《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

典例 1（链教材 P79 例 3）已知函数$f(x) = \frac{2}{3x - 1}$，判断函数$f(x)$在$(\frac{1}{3}, +\infty)$上的单调性，并用定义加以证明.
听课笔记：

答案： 解:函数f(x)在($\frac{1}{3}$,+∞)上单调递减.
　证明:任取x₁,x₂∈($\frac{1}{3}$,+∞),且x₁＜x₂,
　则f(x₁)−f(x₂)=$\frac{2}{3x_1 - 1}$−$\frac{2}{3x_2 - 1}$=$\frac{2(3x_2 - 1) - 2(3x_1 - 1)}{(3x_1 - 1)(3x_2 - 1)}$
　=$\frac{6(x_2 - x_1)}{(3x_1 - 1)(3x_2 - 1)}$。
　因为x₁,x₂∈($\frac{1}{3}$,+∞),x₁＜x₂,
　所以3x₁−1＞0,3x₂−1＞0,x₂−x₁＞0,
　所以f(x₁)−f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂),
　所以函数f(x)在($\frac{1}{3}$,+∞)上单调递减.

对点练 1. 利用定义证明函数$f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$在区间$(-1,1)$上单调递减.

答案： 证明:任取x₁,x₂∈(−1,1)且x₁＜x₂,
　则f(x₁)−f(x₂)=$\frac{x_1}{x_1^2 - 1}$−$\frac{x_2}{x_2^2 - 1}$=$\frac{x_1(x_2^2 - 1) - x_2(x_1^2 - 1)}{(x_1^2 - 1)(x_2^2 - 1)}$
　=$\frac{(x_2 - x_1)(x_1x_2 + 1)}{(x_1^2 - 1)(x_2^2 - 1)}$。
　因为x₁,x₂∈(−1,1)且x₁＜x₂,
　所以x₂−x₁＞0,x₁x₂ + 1＞0,x₁²−1＜0,x₂²−1＜0,
　所以f(x₁)−f(x₂)=$\frac{(x_2 - x_1)(x_1x_2 + 1)}{(x_1^2 - 1)(x_2^2 - 1)}$＞0.
　即f(x₁)−f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂).
　所以函数f(x)在区间(−1,1)上单调递减.

? 问题导思
（阅读教材 P77，完成探究问题 2）
问题 2. 下图为某地区 24 小时内的气温变化图.

从图象可以看出，气温在哪些区间上升？哪些区间下降？

答案： 气温在区间[4,14]内上升,在区间[0,4)和[14,24]内下降