《2025年金版新学案高中数学必修1人教版》

?问题导思
（阅读教材 P145，完成探究问题 2）
问题 2. 你能想办法求函数 $f(x)=x^3-3$ 的近似解吗?

答案：
能.由于 $ f(1) = -2 ＜ 0 $，$ f(2) = 5 ＞ 0 $，因此可以确定区间 $[1,2]$ 作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：

当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程，即便是计算机，也可能被累死机.实际上，如果我们一开始给一个精确度的话，只要满足了给出的精确度，我们就可以停止计算，比如，该问题中，我们给出精确度为0.1.由于 $ |1.5 - 1.4375| = 0.0625 ＜ 0.1 $，所以原函数的一个正实数零点可取为1.4375.

典例 2 用二分法求方程 $x^3-x-1=0$ 在区间 $[1, 1.5]$ 内的一个近似解 (精确度为 0.1).
听课笔记：

答案：
解：设函数 $ f(x) = x^3 - x - 1 $，
则 $ f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 ＜ 0 $，
$ f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 ＞ 0 $，
所以 $ f(x) $ 在区间 $[1,1.5]$ 上存在零点，取区间 $[1,1.5]$ 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

因为 $ |1.375 - 1.3125| = 0.0625 ＜ 0.1 $，
所以函数的零点落在区间长度小于0.1的区间 $[1.3125,1.375]$ 内，即方程的解落在 $[1.3125,1.375]$ 内，
故方程的近似解可以为1.3125.

对点练 2. (1) 设 $f(x)=3^x+3x-8$, 现用二分法求关于 $x$ 的方程 $3^x+3x-8=0$ 在区间 $(1,2)$ 内的近似解, 已知 $f(1)＜0, f(1.25)＜0, f(1.5)＞0, f(2)＞0$, 则方程的根所在的区间为 (B)

A.$(1,1.25)$
B.$(1.25,1.5)$
C.$(1.5,2)$
D.不能确定

答案：
(1)B
(2)BCD
(1)因为 $ f(1) ＜ 0 $，$ f(2) ＞ 0 $，且 $ f(x) $ 的图象在 $(1,2)$ 上连续，所以 $ f(x) $ 在 $(1,2)$ 上至少存在一个零点.因为 $ f(1.5) ＞ 0 $，所以 $ f(x) $ 在 $(1,1.5)$ 上存在零点，因为 $ f(1.25) ＜ 0 $，所以 $ f(x) $ 在 $(1.25,1.5)$ 上存在零点，所以方程的根落在区间 $(1.25,1.5)$ 内.故选B.
(2)结合二分法及参考数据，函数 $ f(x) $ 的零点的初始区间可为 $(0.0625,0.1875)$，已知 $ f(0.09375) ＜ 0 $，$ f(0.125) ＞ 0 $，所以零点在区间 $(0.09375,0.125)$ 上，$|0.125 - 0.09375| = 0.03125 ＜ 0.05$，所以0.09375，0.096，0.125都符合题意.故选BCD.

(2)(多选)用二分法求函数 $f(x)=5^x+7x-2$ 的一个零点, 其参考数据如下：

根据上述数据, 可得 $f(x)=5^x+7x-2$ 的一个零点近似值 (精确度 $0.05$) 为 (BCD)

A.$0.0625$
B.$0.09375$
C.$0.125$
D.$0.096$

答案：
(1)B
(2)BCD
(1)因为 $ f(1) ＜ 0 $，$ f(2) ＞ 0 $，且 $ f(x) $ 的图象在 $(1,2)$ 上连续，所以 $ f(x) $ 在 $(1,2)$ 上至少存在一个零点.因为 $ f(1.5) ＞ 0 $，所以 $ f(x) $ 在 $(1,1.5)$ 上存在零点，因为 $ f(1.25) ＜ 0 $，所以 $ f(x) $ 在 $(1.25,1.5)$ 上存在零点，所以方程的根落在区间 $(1.25,1.5)$ 内.故选B.
(2)结合二分法及参考数据，函数 $ f(x) $ 的零点的初始区间可为 $(0.0625,0.1875)$，已知 $ f(0.09375) ＜ 0 $，$ f(0.125) ＞ 0 $，所以零点在区间 $(0.09375,0.125)$ 上，$|0.125 - 0.09375| = 0.03125 ＜ 0.05$，所以0.09375，0.096，0.125都符合题意.故选BCD.

典例 3 在一个风雨交加的夜晚, 从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障, 这是一条长为 $10 km$, 大约有 200 根电线杆的线路, 设计一个能迅速查出故障所在的方案, 维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域 (精确到 $100 m$ 范围内)?
听课笔记：

答案：
解：如图所示，工人师傅首先从中点C检测，用随身携带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……，由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 $\frac{10000}{2^n}$ m，则有 $\frac{10000}{2^n} \leq 100$，即 $ 2^n \geq 100 $，又 $ 2^6 = 64 $，$ 2^7 = 128 $，故最多检测7次就能找到故障地点所在区域.