《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

8. ($2024 ·$湖州一模)如图，小明想利用“$\angle A = 30°$，$AB = 6 cm$，$BC = 4 cm$”这些条件作$\triangle ABC$. 他先作出了$\angle A$和$AB$，在用圆规作$BC$时，发现点$C$出现$C_1$和$C_2$两个位置，那么$C_1C_2$的长是2$\sqrt{7}$$ cm$.

答案： 8.2$\sqrt{7}$

9. 在$\triangle ABC$中，$AB = 2\sqrt{5}$，$AC = 2\sqrt{2}$，$\tan B = \frac{1}{2}$，则$BC$的长为6或2.

答案： 9.6或2

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$为$\triangle ABC$内部一点，$BD$平分$\angle ABC$，$CD \perp BD$于点$D$，$\angle ACD = \angle A$. 若$\cos \angle DCB = \frac{1}{3}$，$AB = 5$，则$BC$的长为3.

答案： 10.3

11. 如图，$D$是$\triangle ABC$边上的一点，$CD = 2AD$，$AE \perp BC$，垂足为$E$，若$AE = 9$，$\sin \angle CBD = \frac{3}{4}$.
(1)求$BD$的长；
(2)若$BD = CD$，求$\tan \angle BAE$的值.

答案：
11.解:
(1)作DF⊥BC于点F，如答图。
∵AE⊥BC，
∴DF//AE，
∴$\frac{DF}{AE}$ = $\frac{CD}{CA}$。
∵CD = 2AD，CD + AD = CA，
∴$\frac{CD}{CA}$ = $\frac{2}{3}$。
∵AE = 9，
∴$\frac{DF}{9}$ = $\frac{2}{3}$。
解得DF = 6。
∵sin∠CBD = $\frac{DF}{BD}$ = $\frac{3}{4}$，
∴$\frac{6}{BD}$ = $\frac{3}{4}$，解得BD = 8。
(2)
∵BD = CD，DF⊥BC，
∴BF = CF。
由
(1)知DF = 6，BD = CD = 8，∠DFC = 90°，
∴BF = CF = $\sqrt{CD^{2} - DF^{2}}$ = $\sqrt{8^{2} - 6^{2}}$ = 2$\sqrt{7}$。
∵DF//AE，CD = 2AD，
∴CF = 2EF，
∴EF = $\sqrt{7}$。
∴BE = BF - EF = 2$\sqrt{7}$ - $\sqrt{7}$ = $\sqrt{7}$。
∴tan∠BAE = $\frac{BE}{AE}$ = $\frac{\sqrt{7}}{9}$。

12. ($2024 ·$深圳)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$\tan B = \frac{5}{12}$，$D$为$BC$上一点，若满足$CD = \frac{5}{8} BD$，过点$D$作$DE \perp AD$交$AC$的延长线于点$E$，求$\frac{CE}{AC}$的值.

答案：
12.解:如答图，过点A作AH⊥CB于点H，过点C作CM⊥AD于点M。
∵AB = BC，$\frac{BD}{DC}$ = $\frac{8}{5}$，设BD = 8a，则CD = 5a。
∴BC = AB = BD + CD = 13a。
∵tanB = $\frac{5}{12}$，
∴AH = 5a，BH = 12a。
∴DH = BH - BD = 4a，CH = CD - DH = a。
在Rt△ACH中，AC = $\sqrt{AH^{2} + CH^{2}}$ = $\sqrt{26}$a。
在Rt△ADH中，AD = $\sqrt{AH^{2} + DH^{2}}$ = $\sqrt{41}$a。
∴cos∠ADC = $\frac{DH}{AD}$ = $\frac{4\sqrt{41}}{41}$。
∴DM = CD·cos∠ADC = $\frac{20\sqrt{41}}{41}$a。
∴AM = AD - DM = $\frac{21\sqrt{41}}{41}$a。
∵CM⊥AD，DE⊥AD，
∴CM//DE，
∴$\frac{CE}{AC}$ = $\frac{DM}{AM}$ = $\frac{20}{21}$。