《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

8. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle CAB=90°$，$AC=2$，$\angle B=30°$，将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$120°$得到$\triangle AB'C'$，若$P$为边$CB$上一动点，旋转后点$P$的对应点为$P'$，则线段$PP'$长度的最小值是$3$.

答案： 8. $3$

9. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90°$，$AB=6$，$BC=8$.在$Rt\triangle MPN$中，$\angle MPN=90°$，点$P$在$AC$边上，$PM$交$AB$边于点$E$，$PN$交$BC$边于点$F$，当$PE=2PF$时，$AP=$$6$.

答案： 9. $6$

10. 将正方形$ABCD$的边$AB$绕点$A$逆时针旋转至$AB'$，记旋转角为$\alpha$，连接$BB'$，过点$D$作$DE$垂直于直线$BB'$，垂足为$E$，连接$DB',CE$.
(1)如图①，当$\alpha=60°$时，$\triangle DEB'$的形状为等腰直角三角形，连接$BD$，则$\frac{BB'}{CE}$的值为$\sqrt{2}$.
(2)当$0°＜\alpha＜360°$且$\alpha\neq90°$时，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由.

答案：
10.
(1)等腰直角三角形　　$\sqrt{2}$
(2)解：
(1)中的两个结论仍然成立.证明如下:
如答图，连接$BD$，
$\because AB = AB'$，$\angle BAB' = \alpha$，$\therefore \angle AB'B = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$.
$\because \angle B'AD = \alpha - 90^{\circ}$，$AD = AB'$，$\therefore \angle AB'D = 135^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$，$\therefore \angle EB'D = \angle AB'D - \angle AB'B = 135^{\circ} - \frac{\alpha}{2} - (90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}) = 45^{\circ}$.
$\because DE \perp BB'$，$\therefore \angle EDB' = \angle EB'D = 45^{\circ}$，
$\therefore \triangle DEB'$是等腰直角三角形，$\therefore \frac{B'D}{DE} = \sqrt{2}$.
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \frac{BD}{CD} = \sqrt{2}$，$\angle BDC = 45^{\circ}$，$\therefore \frac{BD}{CD} = \frac{B'D}{DE}$.
$\because \angle EDB' = \angle BDC$，
$\therefore \angle EDB' + \angle EDB = \angle BDC + \angle EDB$，
即$\angle B'DB = \angle EDC$，$\therefore \triangle B'DB \sim \triangle EDC$，
$\therefore \frac{BB'}{CE} = \frac{BD}{CD} = \sqrt{2}$.