《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

7. 已知一张矩形报纸$ABCD$的长$AB = a\ cm$,宽$BC = b\ cm$,$E$,$F$分别是$AB$,$CD$的中点,若矩形$AEFD$与矩形$ABCD$相似,则$a : b =$
(A)

A.$\sqrt{2} : 1$
B.$1 : \sqrt{2}$
C.$\sqrt{3} : 1$
D.$1 : \sqrt{3}$

答案： 7.A

8. 如果四边形$ABCD$的四条边长分别为$54\ cm$,$48\ cm$,$45\ cm$,$63\ cm$,另一个和它相似的四边形
的最长边长为$21\ cm$,那么这个四边形的最短边的长为15cm.

答案： 8.15cm

9. 如图，在菱形$ABCD$中，$\angle ABC = 60^{\circ}$,$AB = a$,$E$,$F$是对角线$BD$上的点

$($点$E$,$F$不与点$B$,$D$重合$)$，分别连接$AE$,$EC$,$AF$,$CF$,若四边形$AECF$
是菱形，且与菱形$ABCD$相似,那么菱形$AECF$的边长是$\frac{\sqrt{3}}{3}$a.$($用含
$a$的代数式表示$)$

答案： 9.$\frac{\sqrt{3}}{3}$a

10. 如图，将矩形$ABCD$沿线段$AE$翻折，使点$B$恰好落在边$AD$上的点$F$处，

再沿边$EF$将矩形$ABCD$剪开，所得的另一个矩形$ECDF$和原来的矩形相
似，则原来的矩形$ABCD$的宽$AB$与长$AD$的比值为$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$.

答案： 10.$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$

11. 如图，矩形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$在矩形$ABCD$的内部，$AB // A^{\prime}B^{\prime}$,$AD // A^{\prime}D^{\prime}$,且$AD =$
$12$，$AB = 6$，设$AB$与$A^{\prime}B^{\prime}$,$BC$与$B^{\prime}C^{\prime}$,$CD$与$C^{\prime}D^{\prime}$,$DA$与$D^{\prime}A^{\prime}$之间的距离分别为$a$,$b$,$c$,$d$.
$(1)$若$a = b = c = d = 2$，矩形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$与矩形$ABCD$相似吗？为什么？
$(2)$若矩形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} \sim$矩形$ABCD$,$a$,$b$,$c$,$d$应满足什么等量关系？请说明理由.

答案： 11.解:
(1)不相似,理由如下:
∵AD=12,a=c=2,
∴A'D'=12−2−2=8,
∴$\frac{AD}{A'D'}$=$\frac{12}{8}$=$\frac{3}{2}$.
　　同理得A'B'=2,
∴$\frac{AB}{A'B'}$=$\frac{6}{2}$=3.
∵$\frac{AD}{A'D'}$≠$\frac{AB}{A'B'}$,
∴矩形A'B'C'D'与矩形ABCD不相似
(2)a,b,c,d应满足a+c=2b+2d.
　理由:要使矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD,则$\frac{AD}{A'D'}$=$\frac{AB}{A'B'}$,即$\frac{12}{12−a−c}$=$\frac{6}{6−b−d}$,
　整理,得a + c=2b+2d.

12. 如图，$E$是菱形$ABCD$的对角线$CA$的延长线上任意一点，以线段$AE$为边作一个菱形
$AEFG$,且菱形$AEFG \sim$菱形$ABCD$,连接$EB$,$GD$.
$(1)$求证：$EB = GD$;
$(2)$若$\angle DAB = 60^{\circ}$,$AB = 2$,$AG = \sqrt{3}$,求$GD$的长.

答案：
12.
(1)证明:
∵菱形AEFG∽菱形ABCD,
∴∠EAG=∠BAD,
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,
∴∠EAB=∠GAD.
　又
∵AE=AG,AB=AD,
∴△AEB≌△AGD(SAS),
∴EB=GD.
(2)解:如答图，连接BD交AC于点P,则BP⊥AC;
∵∠DAB=60°,
∴∠PAB=30°,
∴BP=$\frac{1}{2}$AB=1,
∴AP=$\sqrt{AB^{2}-BP^{2}}$=$\sqrt{3}$.
∵AE=AG=$\sqrt{3}$,
∴EP=2$\sqrt{3}$,
∴EB=$\sqrt{EP^{2}+BP^{2}}$=$\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{13}$,
∴GD=EB=$\sqrt{13}$