《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

10. 一副直角三角尺如图所示放置，点 $C$在边 $FD$的延长线上，$AB // CF$，$\angle F = \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle E = 45^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$AC = 5$，求 $CD$的长.

答案：
10.解:如答图，过点B作BM⊥FD于点M.

在△ACB中,
∵∠ACB=90°,∠A=60°,AC=5,
∴∠ABC=30°,BC=AC·tan60°=5$\sqrt{3}$.
∵AB//CF,
∴∠BCM=∠ABC=30°,
∴BM=BC·sin30°=5$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$,
CM=BC·cos30°=5$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15}{2}$.
在△EFD中,
∵∠F=90°,∠E=45°,
∴∠EDF=45°,又
∵∠BMD=90°,
∴MD=BM=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$,
∴CD=CM−MD=$\frac{15−5\sqrt{3}}{2}$.

11. 已知 $\alpha$为锐角，当 $\frac{2024}{1 - \tan\alpha}$无意义时，求 $\tan(\alpha + 15^{\circ}) - \tan(\alpha - 15^{\circ}) + 2\sin\alpha\cos\alpha$的值.

答案： 11.解:
∵$\frac{2024}{1−tan\alpha}$无意义，
∴1−tanα=0,
∴tanα=1.
∵α为锐角,
∴α=45°,
∴原式=tan60°−tan30°+2sin45°cos45°=$\sqrt{3}$−$\frac{\sqrt{3}}{3}$+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1.

12. 定义一种运算：
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$,
$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
例如：当 $\alpha = 45^{\circ}$，$\beta = 30^{\circ}$时，$\sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$,求 $\sin15^{\circ}$的值.

答案： 12.解:sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$−$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$−$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - \sqrt{3}x + 2\sqrt{3}$与坐标轴分别交于 $A$，$B$两点，直线 $BC \perp AB$于点 $B$. 点 $P$从点 $A$出发沿射线 $AB$以每秒 $1$个单位长度的速度运动；点 $Q$从点 $B$出发沿 $x$轴的正方向以每秒$\frac{\sqrt{3}}{2}$个单位长度的速度运动，过点 $Q$作 $QM$垂直 $x$轴交 $BC$于点 $M$，连接 $PM$. 设点 $P$与点 $Q$同时出发，运动时间为 $t$秒.
(1)求 $\angle OAB$的度数；
(2)当 $\bigtriangleup PBM$与 $\bigtriangleup QBM$相似时，求此时点 $P$的横坐标.

答案：
13.解:
(1)
∵一次函数y=−$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$与坐标轴分别交于A,B两点,令x=0时，则y=2$\sqrt{3}$,
∴A(0,2$\sqrt{3}$).
令y=0时,则x=2,
∴B(2,0),
∴OA=2$\sqrt{3}$,OB=2,
∴AB=$\sqrt{OA²+OB²}$=4=2OB,
∴∠OAB=30°.
(2)由
(1)知∠OAB=30°,
∵BC⊥AB,MQ⊥BQ,
∴∠MBQ=30°,∠BMQ=60°.
(I)当点P在线段AB上时,AP=t,PB=4−t,BM=t,
①如答图①.若∠BPM=30°,则△PBM∽△BQM,
∴$\frac{MB}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,即$\frac{t}{4−t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
解得t=2$\sqrt{3}$−2,则AP=2$\sqrt{3}$−2,此时点P₁的横坐标为$\frac{1}{2}$AP=$\sqrt{3}$−1.
②如答图②,若∠BPM=60°,则△MPB∽△BMQ,
∴$\frac{MB}{PB}$=$\sqrt{3}$,即$\frac{t}{4−t}$=$\sqrt{3}$,解得t=6−2$\sqrt{3}$,
则AP=6−2$\sqrt{3}$,此时点P₂的横坐标为$\frac{1}{2}$AP=3−$\sqrt{3}$.
(II)当点P在AB延长线上时,AP=t,PB=t−4,BM=t,
③如答图③,若∠BPM=60°,则△PBM∽△MQB,
∴$\frac{MB}{PB}$=$\sqrt{3}$,即$\frac{t}{t−4}$=$\sqrt{3}$,解得t=2$\sqrt{3}$+6,则AP=2$\sqrt{3}$+6,此时点P₃的横坐标为$\frac{1}{2}$AP=$\sqrt{3}$+3.
④若∠BPM=30°,则△PBM∼△MQB,
∴$\frac{MB}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,即$\frac{t}{t−4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得t=−2$\sqrt{3}$−2＜0(舍去).
综上，点P的横坐标为$\sqrt{3}$−1或3−$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$+3.