《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

8. (2024·乐山)如图,在梯形$ABCD$中,$AD // BC$,对角线$AC$和$BD$交于点$O$,若$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}} = \frac{1}{3}$,则$\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} =$_________$.$

答案： 8.$\frac{1}{9}$

9. (2024·泗阳县期末)如图,在$Rt \triangle ABC$中有三个正方形,若$PQ = 4 cm$,$GK = 6 cm$,则第三个正方形的边长$DF =$9$ cm$.

答案： 9.9

10. 如图,$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$相似,$AD,BE$是$\triangle ABC$的高,$A'D',B'E'$是$\triangle A'B'C'$的高. 求证:$\frac{AD}{A'D'} = \frac{BE}{B'E'}$.

答案： 10.证明:
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠ABD=∠A'B'D'.
∵AD是△ABC的高，A'D'是△A'B'C'的高，
∴∠ADB=∠A'D'B'，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}$.
同理可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BE}{B'E'}$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{BE}{B'E'}$.

11. (2024·宿豫区期中)如图,$\triangle ABC$是一块锐角三角形余料,边$BC = 120 mm$,高$AD = 80 mm$,要把它加工成一个矩形零件$PNMQ$,使$MN$边在$BC$边上,其余两个顶点$P,Q$分别在边$AB,AC$上.
(1)若矩形$PNMQ$是正方形,则正方形的边长是多少毫米?
(2)若矩形$PNMQ$的长是宽的$2$倍,则矩形的长和宽分别是多少毫米?

答案： 11.解:
(1)由题意知PQ//BC，PN//AD，
∴$\frac{PN}{AD}=\frac{BP}{AB}$，$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AB}$.
设正方形PNMQ的边长为xmm，
∵PN=PQ=xmm，AD=80mm，BC=120mm，
∴$\frac{x}{80}=\frac{BP}{AB}$，$\frac{x}{120}=\frac{AP}{AB}$.
∵AP + BP = AB，
∴$\frac{x}{80}+\frac{x}{120}=\frac{BP}{AB}+\frac{AP}{AB}=1$，
解得x=48，
∴正方形PNMQ的边长是48mm.
(2)设矩形PNMQ的宽为ymm，则长为2ymm，
由题意知PQ//BC，PN//AD，
∴$\frac{PN}{AD}=\frac{BP}{AB}$，$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AB}$.
①若PN为长，PQ为宽，由题意知PN=2ymm，AD=80mm，BC=120mm，PQ=ymm，
∴$\frac{2y}{80}=\frac{BP}{AB}$，$\frac{y}{120}=\frac{AP}{AB}$.
∵AP + BP = AB，
∴$\frac{2y}{80}+\frac{y}{120}=\frac{BP}{AB}+\frac{AP}{AB}=1$，
解得y=30，则2y=60，
即矩形PNMQ的长为60mm，宽为30mm.
②若PN为宽，PQ为长，由题意知PN=ymm，AD=80mm，BC=120mm，PQ=2ymm，
∴$\frac{y}{80}=\frac{BP}{AB}$，$\frac{2y}{120}=\frac{AP}{AB}$.
∵AP + BP = AB，
∴$\frac{y}{80}+\frac{2y}{120}=\frac{BP}{AB}+\frac{AP}{AB}=1$，
解得$y=\frac{240}{7}$，则$2y=\frac{480}{7}$，
即矩形PNMQ的长为$\frac{480}{7}$mm，宽为$\frac{240}{7}$mm.
综上，矩形PNMQ的长为60mm，宽为30mm或长为$\frac{480}{7}$mm，宽为$\frac{240}{7}$mm.

12. 已知一块等腰三角形铁板废料如图所示,其中$AB = AC = 50 cm$,$BC = 60 cm$,现要用这块废料裁一块正方形铁板$DEFG$,使它的一边$DE$落在$\triangle ABC$的一腰上,顶点$F,G$分别落在另一腰$AB$和底边$BC$上.
求:(1)等腰三角形$ABC$的面积$S_{\triangle ABC}$;
(2)正方形$DEFG$的边长.

答案：
12.解:
(1)如答图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=50cm，BC=60cm，

∴$BH=\frac{1}{2}BC = 30$cm，
∴$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2}=\sqrt{50^2 - 30^2}=40$(cm)，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC· AH=\frac{1}{2}×60×40 = 1200$(cm²).
(2)如答图，过点B作BM⊥AC交FG于点N，垂足为M，
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC· BM = 1200$cm².
∵AC=50cm，
∴BM=48cm.
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG//DE，
∴BN⊥FG，△BFG∽△BAC，
∴$\frac{FG}{AC}=\frac{BN}{BM}$，
∴$\frac{FG}{50}=\frac{48 - FG}{48}$，解得$FG=\frac{1200}{49}$，
∴正方形DEFG的边长为$\frac{1200}{49}$cm.