《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

6. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$是$DC$的中点，点$F$在$BC$边上且$BF = 3CF$，连接$AE,AF,EF$.有下列结论：①$AE \perp EF$；②$AE = 2EF$；③$CE^{2} = AB · CF$；④$FE$平分$\angle AFC$.其中，正确的有 (A)


A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： 6.A

7. 在平面直角坐标系中有两点$A(4,0)$，$B(0,2)$，如果点$C$在$x$轴上(点$C$不与点$A$重合)，当点$C$的坐标为(−1,0)或(1,0)时，$\triangle BOC \sim \triangle AOB$.

答案： 7.(−1,0)或(1,0)

8. 如图，点$B,C$在线段$AD$上，且$AB = 9$，$CD = 4$，$\triangle PBC$是边长为$6$的等边三角形.
(1)求证：$\triangle ABP \sim \triangle PCD$；
(2)求$PD$的长.

答案： 8.
(1)证明:
∵△PBC是等边三角形，
∴PB = PC = BC = 6,∠PBC = ∠PCB = 60°,
∴∠ABP = ∠DCP = 120°.
∵$\frac{PB}{CD}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$,$\frac{AB}{PC}$=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{PB}{CD}$=$\frac{AB}{PC}$,
∴△ABP∽△PCD.
(2)解:由
(1)知△ABP∽△PCD,
∴∠A = ∠DPC.
　又
∵∠D = ∠D,
∴△DPC∽△DAP,
∴$\frac{DP}{DC}$=$\frac{DA}{DP}$.
∵DA = AB + BC + CD = 9 + 6 + 4 = 19,
∴$\frac{DP}{4}$=$\frac{19}{DP}$,
∴DP = 2$\sqrt{19}$

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$E$在边$BC$上移动(不与点$B,C$重合)，满足$\angle DEF = \angle B$，且点$D,F$分别在边$AB,AC$上.
(1)求证：$\triangle BDE \sim \triangle CEF$；
(2)当点$E$移动到$BC$边的中点时，求证：$FE$平分$\angle DFC$.

答案： 9.证明:
(1)
∵AB = AC,
∴∠B = ∠C;
∵∠BDE = 180°−∠B−∠DEB,
　∠CEF = 180°−∠DEF−∠DEB,∠DEF = ∠B,
∴∠BDE = ∠CEF,
∴△BDE∽△CEF.
(2)由
(1)知△BDE∽△CEF,
∴$\frac{BE}{CF}$=$\frac{DE}{EF}$.
∵E是BC边的中点，
∴BE = CE,
∴$\frac{CE}{CF}$=$\frac{DE}{EF}$,
　即$\frac{DE}{CE}$=$\frac{EF}{CF}$.
∵∠DEF = ∠B = ∠C,
∴△DEF∽△ECF,
∴∠DFE = ∠EFC,
∴FE平分∠DFC.

10. 如图，$\triangle ABC$是$\odot O$的内接三角形，$AB$是$\odot O$的直径，$AC = \sqrt{5}$，$BC = 2\sqrt{5}$，点$F$在$AB$上，连接$CF$并延长，交$\odot O$于点$D$，连接$BD$，作$BE \perp CD$，垂足为$E$.
(1)求证：$\triangle DBE \sim \triangle ABC$；
(2)若$AF = 2$，求$ED$的长.

答案：
10.
(1)证明:
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°.
∵BE⊥CD,
∴∠BED = 90°,
∴∠ACB = ∠BED.
∵∠BDE = ∠BAC,
∴△DBE∽△ABC;
(2)解:如答图，过点C作CG⊥AB,垂足为G.
　　　　　　　　　
∵∠ACB = 90°,AC = $\sqrt{5}$,BC = 2$\sqrt{5}$,
∴AB = $\sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = 5.
∵$S_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}$AC·BC = $\frac{1}{2}$AB·CG,
∴CG = $\frac{AC · BC}{AB}$ = $\frac{\sqrt{5} × 2\sqrt{5}}{5}$ = 2,
∴AG = $\sqrt{AC^{2} - CG^{2}}$ = $\sqrt{(\sqrt{5})^{2} - 2^{2}}$ = 1.
∵AF = 2,
∴FG = AG = 1,
∴AC = FC = $\sqrt{5}$,
∴∠CAF = ∠CFA = ∠BFD = ∠BDF,
∴BD = BF = AB - AF = 5 - 2 = 3.
∵△DBE∽△ABC,
∴$\frac{BD}{AB}$ = $\frac{DE}{AC}$,
∴$\frac{3}{5}$ = $\frac{DE}{\sqrt{5}}$,
∴ED = $\frac{3\sqrt{5}}{5}$.