《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

5. (2024·无锡期末)如图，正方形 ABCD 的边长为 3，连接 BD，P，Q 两点分别在边 AD，CD 的延长线上，且满足∠PBQ = 45°.
(1)当 BD 平分∠PBQ 时，猜想 DP，DQ 的数量关系，并说明理由；
(2)当 BD 不平分∠PBQ 时，求 DP·DQ 的值.

答案： 5.解:
(1)DP=DQ.理由如下:
　当BD平分∠PBQ时，
∵∠PBQ=45°,
∴∠QBD=∠PBD=22.5°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠A=∠C=90°,∠ABD=∠CBD=45°,
∴∠ABQ=∠CBP=22.5°,
∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°.
　在△ABP和△CBQ中，
$\begin{cases} \angle A = \angle C, \\ AB = CB, \\ \angle ABP = \angle CBQ, \end{cases}$
∴△ABP≌△CBQ(ASA),
∴BP=BQ.
　在△QBD和△PBD中，
$\begin{cases} BQ = BP, \\ \angle QBD = \angle PBD, \\ BD = BD, \end{cases}$
∴△QBD≌△PBD(SAS),
∴DP=DQ.
(2)当BD不平分∠PBQ时，
∵AB//CQ,
∴∠ABQ=∠CQB.
∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°,
∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB.
∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,
　∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°,
∴∠BDQ=∠BDP,
∴△BQD∽△PBD,
∴$\frac{BD}{PD} = \frac{QD}{BD}$，
∴$PD · QD = BD^{2} = 3^{2} + 3^{2} = 18$.

6. (2024·鼓楼区期末)如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，以边 AB 上一点 O 为圆心，作⊙O 与边 AC 相切，若⊙O 与边 BC 只有一个公共点，则 OA 的长的取值范围是$OA = \frac{15}{7}$或$\frac{25}{9} ＜ OA \leq 5$.

答案： 6.$OA = \frac{15}{7}$或$\frac{25}{9} ＜ OA \leq 5$

7. 如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位长度的网格中，点 A，B，C，D 均是格点(网格线的交点)且都在以 AC 为直径的⊙O 上，AC 和 BD 交于点 E，则 BE 的长为$\frac{15}{8}\sqrt{2}$.

答案： 7.$\frac{15}{8}\sqrt{2}$

8. (2025·烟台)如图，△ABC 内接于⊙O，∠ABC = 2∠C，点 D 在线段 CB 的延长线上，且 BD = AB，连接 AD.
(1)求证：AD 是⊙O 的切线；
(2)当 AB = 5，AC = 8 时，求 BC 的长及⊙O 的半径.

答案：
8.
(1)证明:作直径AE,连接BE,如答图.
∵BD=AB,
∴∠D=∠BAD,
∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠C=∠BAD.
∵∠E=∠C,
∴∠E=∠BAD.
∵AE为⊙O的直径,
∴∠ABE=90°,
∴∠E+∠BAE=90°,
∴∠BAD+∠BAE=90°,
　即∠DAE=90°,
∴AE⊥AD.
∵AE为⊙O的直径,
∴AD是⊙O的切线.
　　　　　　　
(2)解:由
(1)得∠D=∠C,
∴AD=AC=8.
∵∠BAD=∠C,∠ADB=∠CDA,
∴△DAB∽△DCA,
∴DB:DA=DA:DC,即5:8=8:DC,解得$DC = \frac{64}{5}$，
∴$BC = DC - DB = \frac{64}{5} - 5 = \frac{39}{5}$.
　过点A作CD的垂线，垂足为H,如答图.
∵AD=AC,AH⊥CD,
∴$CH = \frac{1}{2}CD = \frac{32}{5}$.
　在Rt△ACH中,
∵AC=8,$CH = \frac{32}{5}$，
∴$AH = \sqrt{AC^{2} - CH^{2}} = \sqrt{8^{2} - (\frac{32}{5})^{2}} = \frac{24}{5}$.
∵∠E=∠C,∠ABE=∠AHC,
∴△ABE∽△AHC,
∴AE:AC=AB:AH,
　即AE:8=5:$\frac{24}{5}$,解得$AE = \frac{25}{3}$，
∴⊙O的半径为$\frac{25}{6}$.