《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

1. (2024·宿城区期中)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 为 AB 边上的中线，过点 A 作 AE⊥CD 交 BC 于点 E. 若 AC = 2，BC = 4，则 AE 的长为$\sqrt{5}$.

答案： 1.$\sqrt{5}$

2. 如图，两个大小不同的三角尺放在同一平面内，直角顶点重合于点 C，点 D 在边 AB 上，∠BAC = ∠DEC = 30°，AC 与 DE 交于点 F，若 BD = 2，AD = 8，则$\frac{EF}{AF}=$$\frac{\sqrt{57}}{8}$.

答案： 2.$\frac{\sqrt{57}}{8}$

3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，D 是斜边 AC 的中点，连接 DB，AE⊥BD 交 BC 于点 E，交 DB 于点 G.
(1)求证：$EB^{2}=EG· EA$；
(2)连接 CG，若∠CGE = ∠DBC，求证：BE = CE.

答案： 3.证明:
(1)
∵AE⊥BD,
∴∠BGE=90°.
∵∠ABC=90°,
∴∠BGE=∠ABE;
∵∠BEG=∠AEB,
∴△ABE∽△BGE,
∴$\frac{EB}{EG}$=$\frac{EA}{EB}$,即$EB^{2} = EG · EA$.
(2)
∵在Rt△ABC中,D是斜边AC的中点,
∴$BD = \frac{1}{2}AC = CD$，
∴∠DBC=∠DCB.
∵∠CGE=∠DBC,
∴∠CGE=∠DCB.
∵∠GEC=∠CEA,
∴△GEC∽△CEA,
∴$\frac{EG}{EC}$=$\frac{EC}{EA}$，
∴$EC^{2} = EG · EA$.
　由
(1)知$EB^{2} = EG · EA$，
∴$EC^{2} = EB^{2}$，
∴BE=CE;

4. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为 F，连接 DF，有下列结论：①△AEF∽△CAB；② CF = 2AF；③ FD = DC；④ DC:AD = $\sqrt{2}:2$. 其中正确的是①②③④.(填序号)

答案： 4.①②③④