《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

9. (12 分)如图,在正方形$ABCD$中,$M$为$BC$边上一点,$F$是$AM$的中点,$EF \perp AM$,垂足为$F$,交$AD$边的延长线于点$E$,交$DC$边于点$N$.
(1)求证:$\triangle ABM \backsim \triangle EFA$;
(2)若$AB = 12$,$BM = 5$,求$AE$的长.

答案： 9.
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠B=90°,AD//BC,
∴∠AMB=∠EAF.
又
∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°,
∴∠B=∠AFE,
∴△ABM∽△EFA.
(2)解：
∵∠B=90°,AB=12,BM=5,
∴AM=$\sqrt{AB^{2}+BM^{2}}$=$\sqrt{12^{2}+5^{2}}$=13.
∵F是AM的中点,
∴AF=$\frac{1}{2}$AM=6.5,
由
(1)知△ABM∽△EFA,
∴$\frac{BM}{AF}$=$\frac{AM}{AE}$,即$\frac{5}{6.5}$=$\frac{13}{AE}$,
∴AE=16.9.

10. (14 分)如图,在$\mathrm{Rt} \triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,$P$为$\triangle ABC$内部一点,且$\angle APB = \angle BPC = 135^{\circ}$.
求证:(1)$\triangle PAB \backsim \triangle PBC$;
(2)$PA = 2PC$.

答案： 10.证明：
(1)
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC.
又∠APB=135°,
∴∠PAB+∠PBA=45°,
∴∠PBC=∠PAB.
∵∠APB=∠BPC=135°,
∴△PAB∽△PBC.
(2)
∵△PAB∽△PBC,
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{PB}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$.
在Rt△ABC中,
∵AC=BC,
∴AB=$\sqrt{2}$BC,
∴PB=$\sqrt{2}$PC,PA=$\sqrt{2}$PB,
∴PA=2PC.

11. (18 分)(2025·上海)如图,在$\odot O$中,$AB$和$CD$是弦,半径$OA$,$OB$分别交$CD$于点$E$,$F$,且$CE = DF$.
(1)求证:$AB // CD$;
(2)连接$BD$,若$AB = BD$,求证:$AB^{2} = BF · OB$.

答案：
11.证明：
(1)连接OC,OD,如答图.

∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC.
∵CE=DF,
∴△OCE≌△ODF(SAS),
∴OE=OF,
∴$\frac{OE}{OA}$=$\frac{OF}{OB}$,
∴EF//AB,
∴AB//CD.
(2)
∵△OCE≌△ODF,
∴∠COE=∠DOF.
∵AB=BD,
∴∠AOB=∠DOF,
∴∠AOB=∠DOF=∠COE.
连接AF,如答图.
∵OA=OD,OF=OF,
∴△AOF≌△DOF(SAS),
∴∠OAF=∠ODF=∠OCE.
∵∠OCE=∠OAF,∠OEC=∠AEF,
∴△OEC∽△FEA,
∴∠COE=∠AFE.
∵AB//CD,
∴∠FAB=∠AFE,
∴∠AOB=∠FAB=∠AFE.又∠ABF=∠OBA,
∴△BAF∽△BOA,
∴$\frac{AB}{OB}$=$\frac{BF}{BA}$,
∴AB²=BF·OB.