《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

1. 求出下列二次函数的最值.
(1)$y=(x + 3)^2 - 2$；
(2)$y = -x^2 + 4x - 1$；
(3)$y=\frac{1}{3}(x + 2)(x - 4)$.

答案： 1.解：
(1)当$x=-3$时，函数取得最小值$-2$.
(2)当$x=2$时，函数取得最大值$3$.
(3)当$x=1$时，函数取得最小值$-3$.

2. 当$-2 \leq x \leq 2$时，求函数$y = x^2 - 2x - 3$的最大值和最小值.

答案： 2.解：$\because y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$，
$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$-2\leqslant x\leqslant1$时，当$x=-2$时，$y$取得最大值，最大值为$y=(-2)^{2}-2×(-2)-3=5$，
当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$y=-4$.
当$1\leqslant x\leqslant2$时，当$x=2$时，$y$取得最大值，最大值为$y=-3$，当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$y=-4$.
$\therefore$当$-2\leqslant x\leqslant2$时，函数$y=x^{2}-2x-3$的最大值为$5$，最小值为$-4$.

3. 如图，二次函数$y = x^2$与一次函数$y = 2x + 1$的图像相交于$A,B$两点，$C$是线段$AB$上一动点，$D$是抛物线上一动点，且$CD$平行于$y$轴，求在移动过程中$CD$的最大值.

答案： 3.解：设$C(m,2m+1),D(m,m^{2})$，
则$CD=2m+1-m^{2}=-m^{2}+2m+1=-(m-1)^{2}+2$，
$\therefore$当$m=1$时，$CD$取得最大值$2$

4. 已知点$A(m,n)$在二次函数$y = x^2 - 4$的图像上，求$2m - n$的最大值.

答案： 4.解：把$(m,n)$代入$y=x^{2}-4$，得$n=m^{2}-4$，$\therefore2m-n=2m-(m^{2}-4)=-m^{2}+2m+4=-(m-1)^{2}+5$，
$\therefore$当$m=1$时，$2m-n$取得最大值，最大值是$5$.

5. 已知实数$a,b$满足$a - b^2 = 4$，求代数式$a^2 - 3b^2 + a - 14$的最小值.

答案： 5.解：$\because a-b^{2}=4$，$\therefore b^{2}=a-4$，
$\therefore$原式$=a^{2}-3(a-4)+a-14=a^{2}-3a+12+a-14=a^{2}-2a-2=a^{2}-2a+1-1-2=(a-1)^{2}-3$，
$\therefore$当$a\geqslant1$时，原式的值随着$a$的增大而增大.
$\because b^{2}=a-4\geqslant0$，$\therefore a\geqslant4$，
$\therefore$当$a=4$时，原式取得最小值，最小值为$6$.