《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

8. (2024·泗阳中学期末)如图，抛物线$y = mx^2 + bx + 4$经过点$A(-3, 0)$，点$B$在抛物线上，$CB // x$轴，且$AB$平分$\angle CAO$，则此抛物线的函数表达式是$y = -\frac{1}{6}x^{2}+\frac{5}{6}x + 4$.

答案： 8.$y = -\frac{1}{6}x^{2}+\frac{5}{6}x + 4$

9. (2024·建邺区期末)已知二次函数$y$与自变量$x$的部分对应值如下表.

(1)$a =$$0$；
(2)求该二次函数的表达式；
(3)当$-2 ＜ x ＜ 2$时，$y$的取值范围是$-4\leq y＜5$.

答案： 9.
(1)$0$
(2)解：设二次函数的表达式为$y = m(x + 3)(x - 1)$，把$(0, -3)$代入，得$-3 = m×(0 + 3)×(0 - 1)$，解得$m = 1$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y = (x + 3)(x - 1)$，即$y = x^{2}+2x - 3$.
(3)$-4\leq y＜5$

10. (2024·盐城期末)已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$($a, b, c$是常数，$a \neq 0$).
(1)若$a + b + c = 0$，且该抛物线经过$A(-1, 3), B(0, -2), C(1, 1)$三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数表达式；
(2)若$c = -a - b, a + b ＜ 0$，点$P(2, m)(m ＞ 0)$在该抛物线上，求证：$a ＞ 0$.

答案： 10.
(1)解：$\because a + b + c = 0$，$\therefore$抛物线过$(1, 0)$，$\therefore$点$C(1, 1)$不在抛物线上.
$\because$抛物线过点$A(-1, 3)$，$B(0, -2)$，$\therefore\begin{cases}a - b + c = 3\\c = -2\\a + b + c = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=\frac{7}{2}\\b=-\frac{3}{2}\\c = -2\end{cases}$，
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=\frac{7}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 2$.
(2)证明：$\because c = -a - b$，$\therefore$抛物线$y = ax^{2}+bx + c = ax^{2}+bx - a - b$.
$\because$点$P(2, m)$在抛物线上，$\therefore4a + 2b - a - b = m＞0$，
$\therefore3a + b＞0$，$\because a + b＜0$，$\therefore -a - b＞0$，
$\therefore3a + b - a - b＞0$，$\therefore2a＞0$，$\therefore a＞0$.

11. (2025·河南)在二次函数$y = ax^2 + bx - 2$中，$x$与$y$的几组对应值如下表所示.

(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图像的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图像；

(3)将二次函数的图像向右平移$n$个单位长度后，当$0 \leq x \leq 3$时，图像对应的函数最大值与最小值的差为5，请写出$n$的值.

答案：
11.解：
(1)由题意，结合表格数据可得，二次函数图像的对称轴是直线$x=\frac{-2 + 0}{2}=-1$，$\therefore$可设二次函数的表达式为$y = a(x + 1)^{2}+k$.
又$\because$图像过点$(0, -2)$，$(1, 1)$，
$\therefore\begin{cases}-2 = a(0 + 1)^{2}+k\\1 = a(1 + 1)^{2}+k\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 1\\k = -3\end{cases}$，$\therefore$二次函数的表达式为$y=(x + 1)^{2}-3$，
即$y = x^{2}+2x - 2$.
(2)由题意，结合
(1)中$y=(x + 1)^{2}-3$，$\therefore$顶点坐标为$(-1, -3)$.
作图如答图.

(3)由题意知，将二次函数的图像向右平移$n$个单位长度后，得新函数图像的表达式为$y=(x + 1 - n)^{2}-3$，
$\therefore$对称轴是直线$x = n - 1$，图像开口向上.
当$3\leq n - 1$，即$n\geq4$时，$\therefore$当$x = 0$时，$y$取最大值，为$(1 - n)^{2}-3$；当$x = 3$时，$y$取最小值，为$(4 - n)^{2}-3$.
又$\because$最大值与最小值的差为$5$，$\therefore(1 - n)^{2}-3-(4 - n)^{2}+3 = 5$，解得$n=\frac{10}{3}$，不合题意.
当$0＜n - 1＜3$，即$1＜n＜4$时，$\therefore$当$x = 0$或$x = 3$时，$y$取最大值，为$(1 - n)^{2}-3$或$(4 - n)^{2}-3$；当$x = n - 1$时，$y$取最小值，为$-3$.
又$\because$最大值与最小值的差为$5$，$\therefore(1 - n)^{2}-3 + 3 = 5$或$(4 - n)^{2}-3 + 3 = 5$，
解得$n = 1+\sqrt{5}$或$n = 1-\sqrt{5}$(不合题意，舍去)或$n = 4+\sqrt{5}$(不合题意，舍去)或$n = 4-\sqrt{5}$.
当$n - 1\leq0$，即$n\leq1$时，$\therefore$当$x = 0$时，$y$取最小值，为$(1 - n)^{2}-3$；
当$x = 3$时，$y$取最大值，为$(4 - n)^{2}-3$.
又$\because$最大值与最小值的差为$5$，$\therefore(4 - n)^{2}-3-(1 - n)^{2}+3 = 5$，解得$n=\frac{5}{3}$，不合题意.
综上，$n = 1+\sqrt{5}$或$n = 4-\sqrt{5}$.