《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

7. 如图，等边$\triangle ABC$的边长为4，$P$为$BC$上一点，且$BP = 1$，过点$P$作$\angle APD = 60^{\circ}$交$AC$于点$D$，则$CD$的长为$\frac{3}{4}$.

答案： 7.$\frac{3}{4}$

8. (2024·重庆)如图，在$\triangle ABC$中，延长$AC$至点$D$，使$CD = CA$，过点$D$作$DE // CB$，且$DE = DC$，连接$AE$交$BC$于点$F$. 若$\angle CAB = \angle CFA$，$CF = 1$，则$BF =$3.

答案： 8.3

9. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 10$，$AD = 4$，$P$是$CD$边上的一个动点，则当$\triangle ADP$与$\triangle BCP$相似时，$DP =$2或8或5.

答案： 9.2或8或5

10. (2024·盐城)如图，点$C$在以$AB$为直径的$\odot O$上，过点$C$作$\odot O$的切线$l$，过点$A$作$AD \perp l$，垂足为$D$，连接$AC, BC$.
(1)求证：$\triangle ABC \backsim \triangle ACD$；
(2)若$AC = 5$，$CD = 4$，求$\odot O$的半径.

答案：
10.
(1)证明:连接OC,如答图
∵l是⊙O的切线,
∴OC⊥l.
∵AD⊥l,
∴OC//AD,
∴∠CAD=∠ACO=∠CAB.
∵点C在以AB为直径的⊙O上，
∴∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠ACB,
∴△ABC∽△ACD.
(2)解:
∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,
∴AD=$\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3.
　由
(1)知△ABC∽△ACD,
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$,
∴$\frac{AB}{5}$=$\frac{5}{3}$,
∴AB=$\frac{25}{3}$,
∴⊙O的半径为$\frac{25}{6}$.
　　　　　　　　

11. 如图，在锐角三角形$ABC$中，点$D, E$分别在边$AC, AB$上，$AG \perp BC$于点$G$，$AF \perp DE$于点$F$，$\angle EAF = \angle GAC$.
(1)求证：$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$；
(2)若$AD = 3$，$AB = 5$，求$\frac{AF}{AG}$的值.

答案： 11.
(1)证明:
∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AFE=∠AGC=90°.
∵∠EAF=∠GAC,
∴∠AED=∠ACB.
∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC;
(2)解:由
(1)得$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{3}{5}$.
∵∠AFE=∠AGC=90°,∠EAF=∠GAC,
∴△EAF∽△CAG,
∴$\frac{AF}{AG}$=$\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{AF}{AG}$=$\frac{3}{5}$.

12. 如图，在矩形$ABCD$中，点$E, F$分别在$AD, BC$上，将四边形$ABFE$沿$EF$翻折，使点$A$的对应点$P$落在$CD$上，点$B$的对应点为$G$，$PG$交$BC$于点$H$.
(1)求证：$\triangle EDP \backsim \triangle PCH$；
(2)若$P$为$CD$的中点，且$AB = 2$，$BC = 3$，求$GH$的长.

答案：
12.
(1)证明:如答图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D =∠C=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∵点E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使点A的对应点P落在DC上,
∴∠EPH=∠A=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠3=∠2,
∴△EDP∽△PCH.
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2,AD=BC=3.
∵P为CD的中点，
∴DP=CP=$\frac{1}{2}$×2=1.设EP=AE=x,
∴ED=3−x,在Rt△EDP中,EP²=ED²+DP²,
　即x²=(3−x)² + 1²,
　解得x=$\frac{5}{3}$,
∴EP=AE=$\frac{5}{3}$,
∴ED=3−$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$.
∵△EDP∽△PCH,
∴$\frac{ED}{PC}$=$\frac{EP}{PH}$,
∴$\frac{\frac{4}{3}}{1}$=$\frac{\frac{5}{3}}{PH}$,解得PH=$\frac{5}{4}$.
∵PG=AB=2,
∴GH=PG−PH=2−$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$.