《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

5. 如图，M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点 C，$\angle DME = \angle A = \angle B = 45^{\circ}$，DM 交 AC 于点 F，ME 交 BC 于点 G，连接 FG，如果$AB = 4\sqrt{2}$，$AF = 3$，那么 FG 的长为$\frac{5}{3}$.

答案： 5.$\frac{5}{3}$

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 10$，$BC = 12$，点 D，E 分别在边 BC，AC 上（点 D 不与端点 B，C 重合），并且满足$\angle ADE = \angle B$.
(1) 求证：$\triangle ABD \sim \triangle DCE$；
(2) 设$BD = x$，$CE = y$，当$x$取何值时，$y$取最大值？$y$的最大值是多少？
(3) 当$\triangle ADE$是等腰三角形时，求 BD 的长.

答案： 6.
(1)证明:
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C。
∵∠ADE = ∠B，
∴∠ADE = ∠C。
∵∠ADB = 180° - ∠ADE - ∠CDE，∠DEC = 180° - ∠C - ∠CDE，
∴∠ADB = ∠DEC，
∴△ABD∽△DCE。
(2)解:
∵BD = x，CE = y，
∴CD = BC - BD = 12 - x。
由
(1)知△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}$ = $\frac{BD}{CE}$，
∴$\frac{10}{12 - x}$ = $\frac{x}{y}$，
∴y = -$\frac{1}{10}$(x - 6)² + $\frac{18}{5}$。
∵0 ＜ x ＜ 12，且 -$\frac{1}{10}$ ＜ 0，
∴当x = 6时，y有最大值，y的最大值为$\frac{18}{5}$。
(3)解:当DA = DE时，∠DAE = ∠AED。
∵AB = AC = 10，
∴∠B = ∠C = ∠ADE。
∵∠AED = ∠EDC + ∠C = ∠EDC + ∠ADE = ∠ADC，
∴∠DAE = ∠ADC，
∴CD = AC = 10，
∴BD = BC - CD = 12 - 10 = 2。
当AE = DE时，∠DAE = ∠ADE = ∠B。
又
∵∠ACD = ∠BCA，
∴△ADC∽△BAC，
∴$\frac{AC}{BC}$ = $\frac{CD}{AC}$，
∴DC·BC = AC²，
∴DC = $\frac{25}{3}$，
∴BD = BC - DC = 12 - $\frac{25}{3}$ = $\frac{11}{3}$。
∵点D不与端点B，C重合，
∴AD ≠ AE。
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为2或$\frac{11}{3}$。

7. 如图，在等腰三角形 ABC 中，$AB = AC = 8$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，P 为 BC 边的中点，小慧把透明三角尺的$30^{\circ}$角的顶点放在点 P 处，绕点 P 旋转，三角尺的两边分别交 BA 的延长线和边 AC 于点 E，F.
(1) 探究 1：$\triangle BPE$与$\triangle CFP$相似吗？为什么？
(2) 探究 2：连接 EF，$\triangle BPE$与$\triangle PFE$是否相似？为什么？

(3) 设$EF = m$，$\triangle EPF$的面积为 S，试用含 m 的代数式表示 S.

答案：
7.解:
(1)△BPE∽△CFP。理由如下:
∵AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B = ∠C = 30°，
∴∠CPF + ∠CFP = 150°。
∵∠EPF = 30°，
∴∠BPE + ∠CPF = 150°，
∴∠BPE = ∠CFP，
∴△BPE∽△CFP。
(2)△BPE∽△PFE。理由如下:
由
(1)知△BPE∽△CFP，
∴$\frac{CP}{BE}$ = $\frac{PF}{PE}$。
又
∵P为BC边的中点，
∴BP = CP，
∴$\frac{BP}{BE}$ = $\frac{PF}{PE}$，
∴$\frac{BP}{PF}$ = $\frac{BE}{PE}$。
又
∵∠EBP = ∠EPF = 30°，
∴△BPE∽△PFE。
(3)由
(2)知△BPE∽△PFE，
∴∠BEP = ∠PEF，即EP平分∠BEF。如答图，过点P分别作PM⊥BE，垂足为M，作PN⊥EF，交EF的延长线于点N，则PM = PN，连接AP。
∵AB = AC = 8，∠BAC = 120°，P为BC边的中点，
∴AP⊥BC，∠PAM = 60°。
在Rt△ABP中，由∠B = 30°，AB = 8，可得AP = 4。
在Rt△APM中，AM = 2，PM = $\sqrt{AP^{2}-AM^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}-2^{2}}$ = 2$\sqrt{3}$，
∴PN = 2$\sqrt{3}$。又
∵EF = m，
∴S = $\frac{1}{2}$PN·EF = $\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×m = $\sqrt{3}m$。