《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

1. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 AE，过点 E 作 EF⊥AE 交$\angle BCD$的外角平分线于点 F，若$AB = 3$，$BC = 4$，$BE = 1$，则 EF 的长为$\frac{3\sqrt{10}}{2}$.

答案： 1.$\frac{3\sqrt{10}}{2}$

2. 如图，在四边形 ABCD 中，$AC\perp CD$，若$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$CD = 10$，则$\triangle BCD$的面积为18.

答案： 2.18

3. (2025·泗洪县一模)如图，$\angle BAM = \angle ABN = 90^{\circ}$，$AB = 4$，C 是线段 AB 的中点，点 D 在射线 AM 上运动，过点 D 作$DE\perp CD$交射线 BN 于点 E，则 BE 的最小值为$4\sqrt{2}$.

答案： 3.$4\sqrt{2}$

4. 如图，在矩形 ABCD 中，$AB = 4$，$AD = m$，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 运动，连接 CP，作点 D 关于直线 PC 的对称点 E，设点 P 的运动时间为$t(s)$.已知 m 满足：在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻$t$，使点 E 到直线 BC 的距离等于 1，求符合条件的 m 的取值范围.

答案：
4.解:如答图①,当点P与点A重合时，点E在BC边的下方，点E到直线BC的距离为1.
作EQ⊥BC于点Q，EM⊥DC交DC的延长线于点M，则EQ = 1，设AC，DE交于点O。
∵点D，E关于直线AC对称，
∴AC⊥DE，OD = OE，
∴CE = DC = 4，∠DAC + ∠ADE = 90°。
又
∵∠ADE + ∠EDM = 90°，
∴∠DAC = ∠EDM。
易知四边形EMCQ是矩形，
∴CM = EQ = 1，
∴EM = $\sqrt{EC^{2}-CM^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}-1^{2}}$ = $\sqrt{15}$，DM = CM + CD = 1 + 4 = 5。
∵∠DAC = ∠EDM，∠ADC = ∠M，
∴△ADC∽△DME，
∴$\frac{AD}{DM}$ = $\frac{DC}{EM}$，
∴$\frac{AD}{5}$ = $\frac{4}{\sqrt{15}}$，
∴AD = $\frac{4\sqrt{15}}{3}$。此时动点P从点D到点A的整个运动过程中，恰好有两个时刻t，使点E到直线BC的距离等于1，故m ＜ $\frac{4\sqrt{15}}{3}$。
如答图②，当点P与点A重合时，点E在BC边的上方，点E到直线BC的距离为1。
作EQ⊥BC交CB的延长线于点Q，延长QE交DA的延长线于点M，则EQ = 1。
同理可得CE = DC = 4，DM = QC = $\sqrt{EC^{2}-EQ^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}-1^{2}}$ = $\sqrt{15}$，
EM = MQ - EQ = CD - EQ = 4 - 1 = 3。
同理可得△DME∽△CDA，
∴$\frac{DM}{CD}$ = $\frac{EM}{AD}$，
∴$\frac{\sqrt{15}}{4}$ = $\frac{3}{AD}$，
∴AD = $\frac{4\sqrt{15}}{5}$。
此时动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于1，故m ≥ $\frac{4\sqrt{15}}{5}$。
综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于1，符合条件的m的取值范围是$\frac{4\sqrt{15}}{5}$ ≤ m ＜ $\frac{4\sqrt{15}}{3}$。