《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

10. (14 分)(2024·通辽)如图，在平面直角坐标系中，直线$y = - \frac{3}{2}x + 3$与$x$轴,y 轴分别交于点$C,D$，抛物线$y = - \frac{1}{4}(x - 2)^{2} + k$($k$为常数)经过点$D$且交$x$轴于$A,B$两点.

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若$P$为抛物线的顶点，连接$AD,DP,CP$，求四边形$ACPD$的面积.

答案：
10.解:
(1)在$y = - \frac{3}{2}x + 3$中，令$x = 0$，得$y = 3$，
∴$D(0,3)$。
∵抛物线$y = - \frac{1}{4}(x - 2)^{2} + k$经过点$D(0,3)$，
∴$3 = - \frac{1}{4} × (0 - 2)^{2} + k$，解得$k = 4$，
∴抛物线的函数表达式为$y = - \frac{1}{4}(x - 2)^{2} + 4 = - \frac{1}{4}x^{2} + x + 3$。
(2)连接$OP$，如答图。

在$y = - \frac{3}{2}x + 3$中，令$y = 0$，得$x = 2$，
∴$C(2,0)$，$OC = 2$。
在$y = - \frac{1}{4}x^{2} + x + 3$中，令$y = 0$，得$0 = - \frac{1}{4}x^{2} + x + 3$，解得$x = 6$或$x = - 2$，
∴$A( - 2,0)$，$OA = 2$。
由$y = - \frac{1}{4}(x - 2)^{2} + 4$可得抛物线的顶点$P$的坐标为$(2,4)$，
∴$S_{四边形ACPD} = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle POD} + S_{\triangle POC} = \frac{1}{2} × 2 × 3 + \frac{1}{2} × 3 × 2 + \frac{1}{2} × 2 × 4 = 10$。

11. (16 分)某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，该拱门的示意图如图所示，$OA$是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点$B$处，拱门到水平地面的高度$y( m)$与到柱子$OA$的水平距离$x( m)$满足函数关系式$y = ax^{2} + x + c$($a,c$为常数，$a \neq 0$)，已知$OA = 3\ m,OB = 6\ m$.
(1)求出图中抛物线的函数表达式；
(2)从柱子$OA$上的点$C$处拉一条横幅到拱门的点$D$处，$CD // OB$，若$CD = 4AC$，小华的身高是$1.65\ m$，请问拉上横幅$CD$后小华不弯腰是否能通过该拱门？说明理由.

答案： 11.解:
(1)由题意，得$\begin{cases} c = 3 \\ 36a + 6 + c = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = - \frac{1}{4} \\ c = 3 \end{cases}$，
∴$y = - \frac{1}{4}x^{2} + x + 3$。
(2)能通过该拱门.理由：设$D(m, - \frac{1}{4}m^{2} + m + 3)$，则$C(0, - \frac{1}{4}m^{2} + m + 3)$，
∴$AC = 3 - ( - \frac{1}{4}m^{2} + m + 3) = \frac{1}{4}m^{2} - m$，$CD = m$。
∵$CD = 4AC$，
∴$m = 4 × (\frac{1}{4}m^{2} - m)$，解得$m = 5$或$m = 0$(舍去)，
∴$C(0,\frac{7}{4})$。
∵$\frac{7}{4} ＞ 1.65$，
∴拉上横幅后小华不弯腰能通过该拱门。

12. (25 分)(2025·黑龙江)如图，抛物线$y = x^{2} + bx + c$交$x$轴于点$A,B$，交$y$轴于点$C$，且点$A$在点$B$的左侧，顶点坐标为$(3, - 4)$.
(1)求$b$与$c$的值.
(2)在$x$轴上方的抛物线上是否存在点$P$，使$\triangle PBC$的面积与$\triangle ABC$的面积相等.若存在，请直接写出点$P$的横坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
12.解:
(1)
∵抛物线$y = x^{2} + bx + c$的顶点坐标为$(3, - 4)$，
∴$y = (x - 3)^{2} - 4 = x^{2} - 6x + 5$，
∴$b = - 6$，$c = 5$。
(2)存在，理由如下：对于抛物线$y = x^{2} - 6x + 5$，
当$y = 0$时，$x^{2} - 6x + 5 = 0$，解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = 5$，当$x = 0$时，$y = 5$，
∴$OB = OC = 5$，$AB = 5 - 1 = 4$。
∵$\angle COB = 90^{\circ}$，
∴$\angle OBC = \angle OCB = 45^{\circ}$，过点$B$作$x$轴的垂线，在$x$轴上方的垂线上截取$BD = BA = 4$，连接$AD$与$BC$交于点$E$，连接$CD$，则$D(5,4)$，$\angle ADB = 45^{\circ}$，

∴$\angle DBC = 90^{\circ} - \angle OBC = 45^{\circ} = \angle OBC$，
∴$BC \perp AD$，$ED = EA$，
∴$\frac{1}{2}BC · EA = \frac{1}{2}BC · ED$，即$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle DBC}$。
过点$D$作$DP // BC$交抛物线于点$P$，连接$BP$，$CP$，则$S_{\triangle BCP} = S_{\triangle BCD}$，
∴$S_{\triangle BCA} = S_{\triangle BCP}$，
设直线$BC$的函数表达式为$y = mx + n$，则$\begin{cases} 5m + n = 0 \\ n = 5 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = - 1 \\ n = 5 \end{cases}$，
∴直线$BC:y = - x + 5$。
∵$BC // PD$，
∴设直线$PD$的函数表达式为$y = - x + q$，代入$D(5,4)$，得$- 5 + q = 4$，
解得$q = 9$，
∴直线$PD:y = - x + 9$，
联立$\begin{cases} y = - x + 9 \\ y = x^{2} - 6x + 5 \end{cases}$，
整理，得$x^{2} - 5x - 4 = 0$，
解得$x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$或$x = \frac{5 - \sqrt{41}}{2}$，
∴点$P$的横坐标为$\frac{5 + \sqrt{41}}{2}$或$\frac{5 - \sqrt{41}}{2}$。