《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

9.(12分)如图,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$经过点$A(3,0)$,点$B(0,3)$.

(1)求抛物线的函数表达式和顶点$C$的坐标;
(2)点$P$在线段$AB$上且不与两端点重合,过点$P$作$x$轴的垂线与抛物线交于点$Q$,直线$PQ$交$x$轴于点$M$,连接$BQ$,$OP$,如果$S_{\triangle BPQ}=2S_{\triangle OPM}$,求$PM$的长.

答案：
9.解：
(1)将$A(3,0),B(0,3)$代入抛物线$y=-x^{2}+bx+c$,得$\begin{cases}-9 + 3b + c = 0, \\c = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 2, \\c = 3,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$,
$\therefore y=-(x - 1)^{2}+4,\therefore$顶点$C$的坐标为$(1,4)$.
(2)补全图形如答图所示.
设点$P$的横坐标为$m$,则$Q(m,-m^{2}+2m + 3),M(m,0)$.
设直线$AB$的函数表达式为$y=kx + n$,
将$A(3,0),B(0,3)$代入,得$\begin{cases}3k + n = 0, \\n = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1, \\n = 3,\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y=-x + 3$,
$\therefore P(m,-m + 3),\therefore PQ=-m^{2}+2m + 3-(-m + 3)=-m^{2}+3m,PM=-m + 3$.
$\because S_{\triangle BPQ}=2S_{\triangle OPM},\therefore\frac{1}{2}PQ· OM=2×\frac{1}{2}OM· PM$,
$\therefore PQ = 2PM$,即$-m^{2}+3m=2(-m + 3)$,
解得$m = 2$或$m = 3$(舍去$),\therefore PM=-m + 3=1$,
即$PM$的长为$1$.

10.(14分)(2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示,顶部$L_{1}$,左、右门洞$L_{2}$,$L_{3}$均呈抛物线型,水平横梁$AC=16 m$,$L_{1}$的最高点$B$到$AC$的距离$BO=4 m$,$L_{2}$,$L_{3}$关于$BO$所在直线对称.$MN$,$MP$,$NQ$为框架,点$M$,$N$在$L_{1}$上,点$P$,$Q$分别在$L_{2}$,$L_{3}$上,$MN// AC$,$MP\perp AC$,$NQ\perp AC$.以$O$为原点,以$AC$所在直线为$x$轴,以$BO$所在直线为$y$轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线$L_{1}$的函数表达式;

(2)已知抛物线$L_{3}$的函数表达式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^{2}$,$NQ=\frac{5}{2} m$,
求$MN$的长.

答案： 10.解：
(1)$\because BO = 4\ m,\therefore$抛物线$L_1$的顶点$B$坐标为$(0,4)$.
设抛物线$L_1$的函数表达式为$y=ax^{2}+4$.
$\because AC = 16\ m$,结合二次函数的对称性,得$A(-8,0),C(8,0)$,
将$C(8,0)$代入$y=ax^{2}+4$,
得$0 = 64a + 4$,解得$a=-\frac{1}{16},\therefore y=-\frac{1}{16}x^{2}+4,\therefore$抛物线$L_1$的函数表达式为$y=-\frac{1}{16}x^{2}+4$.
(2)由
(1)得抛物线$L_1$的函数表达式$y=-\frac{1}{16}x^{2}+4$.
$\because MN// AC,MP\perp AC,NQ\perp AC,NQ=\frac{5}{2}m$,且抛物线$L_3$的函数表达式为$y=-\frac{3}{16}(x - 4)^{2}$,
$\therefore y=y_N - y_Q=-\frac{1}{16}x^{2}+4-[-\frac{3}{16}(x - 4)^{2}]=\frac{5}{2}$,
整理,得$x^{2}-12x + 36 = 0$,
解得$x_1 = x_2 = 6,\therefore MN = 2×6 = 12(m)$.

11.(18分)某景点试开放期间,团队收费方案如下:不超过30人时,人均收费120元;超过30人且不超过$m(30＜m\leqslant100$,$m$为整数)人时,每增加1人,人均收费降低1元;超过$m$人时,人均收费都按照$m$人时的标准.设景点接待有$x$名游客的团队,收取总费用为$y$元.
(1)直接写出$y$关于$x$的函数表达式;
(2)景点工作人员发现:当接待的团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,求$m$的取值范围.

答案： 11.解：
(1)$y=\begin{cases}120x&(0 ＜ x \leqslant 30,x为整数), \\(150 - x)x&(30 ＜ x \leqslant m,x为整数), \\(150 - m)x&(x ＞ m,x为整数).\end{cases}$
(2)由
(1)可知当$0 ＜ x \leqslant 30$或$x ＞ m$时,函数值$y$都随着$x$的增加而增加.
当$30 ＜ x \leqslant m$时,$y=(150 - x)x=-(x - 75)^{2}+5625$,
$\because a=-1 ＜ 0,\therefore$当$x \leqslant 75$时,$y$随$x$的增加而增加.
$\because$要让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,
$\therefore m$的取值范围为$30 ＜ m \leqslant 75,m$为整数.