《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AC$，$BD$ 交于点 $E$，过点 $E$ 作 $MN// AD$，分别交 $AB$，$CD$ 于点 $M$，$N$.
（1）求证：$\triangle AME\backsim\triangle ABC$；
（2）求证：$\frac{1}{ME}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{BC}$；
（3）若 $AD = 5$，$BC = 7$，求 $MN$ 的长.

答案： 1.
(1)证明:
∵AD//BC,MN//AD,
∴MN//BC,
∴△AME∽△ABC.
(2)证明:
∵MN//AD,AD//BC,
∴$\frac{DE}{BD}=\frac{AE}{AC}$.
∵MN//BC,
∴△AME∽△ABC,△DEN∽△DBC,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{ME}{BC}$,$\frac{DE}{BD}=\frac{NE}{CB}$,$\therefore \frac{ME}{BC}=\frac{NE}{CB}$,
∴ME = NE,
∴E是MN的中点,ME = NE=$\frac{1}{2}MN$.
∵AD//MN,
∴△CEN∽△CAD,
∴$\frac{NE}{AD}=\frac{CE}{AC}$.又
∵$\frac{ME}{BC}=\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{NE}{AD}+\frac{ME}{BC}=\frac{CE}{AC}+\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AC}=1$,$\therefore \frac{NE}{AD}+\frac{ME}{BC}=1$.
又
∵ME = NE,
∴$\frac{1}{ME}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{BC}$.
(3)解:结合
(2)的结论,
∵AD = 5,BC = 7,
∴$\frac{1}{ME}=\frac{1}{5}+\frac{1}{7}$,$\therefore ME=\frac{35}{12}$.
∵ME = NE,
∴MN = ME + NE=$\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}$.

2. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$M$ 为 $AB$ 边的中点，$DM$，$DB$ 分别与 $AC$ 相交于点 $P$，$Q$.
（1）求$\frac{AP}{PQ}$的值；
（2）若 $DB\perp BC$，$PQ = \sqrt{3}$，$BC = \sqrt{15}$，求 $PM$ 的长.

答案： 2.解:
(1)
∵M为AB边的中点,
∴AM=$\frac{1}{2}$AB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC//AB,AB = CD,AQ = CQ,
∴△APM∽△CPD,
∴$\frac{AP}{PC}=\frac{AM}{CD}=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{AP}{CQ + PQ}=\frac{1}{2}$.$\because AP + PQ + PQ = \frac{1}{2}$,
∴AP = 2PQ,
∴$\frac{AP}{PQ}=2$.
(2)由
(1)知AP = 2PQ = 2$\sqrt{3}$,
∴CQ = AQ = AP + PQ = 3$\sqrt{3}$.
∵DB⊥BC,BC = $\sqrt{15}$,
∴BQ = $\sqrt{CQ^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{15})^{2}} = 2\sqrt{3}$.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,DQ = BQ,
∴BD = 2BQ = 4$\sqrt{3}$,
∴CD = $\sqrt{BD^{2}+BC^{2}} = \sqrt{(4\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{15})^{2}} = 3\sqrt{7}$,
∴AB = CD = 3$\sqrt{7}$.
∵AD//BC,
∴∠ADB = ∠CBD = 90°.
∵M是AB边的中点,
∴DM=$\frac{1}{2}AB=\frac{3\sqrt{7}}{2}$.
由
(1)知△APM∽△CPD,
∴PM:PD = AM:DC = 1:2,
∴PM=$\frac{1}{3}$DM=$ \frac{\sqrt{7}}{2} $.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，点 $D$，$E$ 分别在边 $AB$，$AC$ 上，$ED$，$CB$ 的延长线相交于点 $F$，若 $BD = CE$，求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{EF}{DF}$.

答案：
3.证明:过点D作DM//AC交FC于点M,如答图,
∵DM//AC,
∴△BDM∽△BAC,
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DM}{AC}$,$\therefore \frac{BD}{DM}=\frac{AB}{AC}$.
∵BD = CE,
∴$\frac{CE}{DM}=\frac{AB}{AC}$.
∵DM//CE,
∴△FCE∽△FMD,
∴$\frac{CE}{DM}=\frac{EF}{DF}$,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{EF}{DF}$.