《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

9. 在$\triangle ABC$中，$AC = 2\sqrt{5}$，$D$为直线$AB$上一点，且$AB = 3BD$，直线$CD$与直线$BC$所成锐角的正切值为$\frac{1}{2}$，且$CD \perp AC$，则$BC$的长为$\frac{5}{2}$或5.

答案： 9.$\frac{5}{2}$或5

10. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD \perp AB$，垂足为$D$，若$AD = BC$，则
$\cos B =$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

答案： 10.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$AB$的中点，$DC \perp AC$，且$\tan\angle BCD = \frac{1}{3}$，求$\sin A$的值.

答案：
11.解:过点D作ED//AC,交BC于点E,如答图，
∴∠ACD=∠CDE=90°.
在Rt△CDE中,
∵$\tan \angle BCD=\frac{1}{3}=\frac{DE}{CD}$，
∴设DE=x,则CD=3x.
∵ED//AC,
∴△DEB∽△ACB,
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{CB}$.
∵$AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
∴$BE=CE=\frac{1}{2}BC$，
∴$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴AC=2DE=2x.
∵在Rt△ACD中,AC=2x,CD=3x,
∴$AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4x^{2}+9x^{2}}=\sqrt{13}x$，
∴$\sin A=\frac{CD}{AD}=\frac{3x}{\sqrt{13}x}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$.

12. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$\cos B = \frac{4}{5}$，$D$是边$AB$的中点，过点$D$作$CD$的垂线，与边$BC$相交于点$E$.
求：(1)线段$CE$的长；
(2)$\sin\angle BDE$的值.

答案：
12.解:
(1)
∵∠ACB=90°，AB=10，$\cos B=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴BC=8，
∴$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$.
又
∵D为AB的中点，
∴$AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴∠DCB=∠B，
∴$\cos \angle DCB=\frac{CD}{CE}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{5}{CE}=\frac{4}{5}$，
∴$CE=\frac{25}{4}$.
(2)如答图,过点E作EF⊥AB交AB于点F,
由
(1)知$CE=\frac{25}{4}$，则$BE=BC - CE=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$，$DE=\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(\frac{25}{4})^{2}-5^{2}}=\frac{15}{4}$.
设BF=x，则DF=BD - BF=5 - x，
在Rt△DEF中，$EF^{2}=DE^{2}-DF^{2}=(\frac{15}{4})^{2}-(5 - x)^{2}$.
在Rt△BEF中，$EF^{2}=BE^{2}-BF^{2}=(\frac{7}{4})^{2}-x^{2}$，
∴$(\frac{15}{4})^{2}-(5 - x)^{2}=(\frac{7}{4})^{2}-x^{2}$，解得$x=\frac{7}{5}$，
∴$EF^{2}=(\frac{7}{4})^{2}-(\frac{7}{5})^{2}=\frac{49 × 9}{16 × 25}$，
∴$EF=\frac{21}{20}$，
∴$\sin \angle BDE=\frac{EF}{DE}=\frac{7}{25}$.

13. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AE$平分$\angle BAC$交$BC$于点$E$，$O$为$AC$上一点，经过点$A$，$E$的$\odot O$分别交$AB$，$AC$于点$D$，$F$.
(1)求证：$BC$是$\odot O$的切线.
(2)若$CF = 2$，$\sin C = \frac{3}{5}$，求$AE$的长.

答案：
13.
(1)证明:如答图，连接OE,
∵AE平分∠BAC交BC于点E,
∴∠BAC=2∠OAE;
∵∠FOE=2∠OAE,
∴∠FOE=∠BAC,
∴OE//AB.
∵∠B=90°,
∴∠OEC=90°,
∴OE⊥BC.
又
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线.
(2)解:如答图，连接EF,
∵CF=2，$\sin C=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OE}{OF+CF}=\frac{3}{5}$.
∵OE=OF，
∴OE=OF=3.
∴OA=OF=3，
∴AC=OA+OF+CF=8，
∴$AB=AC · \sin C=8 × \frac{3}{5}=\frac{24}{5}$.
∵∠OAE=∠BAE，
∴$\cos \angle OAE=\cos \angle BAEW$，即$\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AF}$，
∵$\frac{\frac{24}{5}}{AE}=\frac{AE}{3 + 3}$，
解得$AE=\frac{12\sqrt{5}}{5}$(舍去负数)，
∴AE的长为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.