《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

10. 如图，在 Rt$\bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$CD,CH$分别是$AB$边上的中线和高，若$BC=6$，
$cos\angle ACD=\frac{4}{5}$,求$AB,CH$的长.

答案： 10.解：$\because CD$是$Rt\triangle ABC$斜边上的中线，
$\therefore AD = BD = CD$，$\therefore \angle A = \angle ACD$，
$\therefore \cos A = \cos \angle ACD = \frac{4}{5}$。
$\because$在$Rt\triangle ABC$中，$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$，
$\therefore$可设$AC = 4x$，则$AB = 5x$，
由勾股定理，得$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(5x)^{2} - (4x)^{2}} = 3x$，
$\therefore 3x = 6$，即$x = 2$，
$\therefore AB = 5x = 10$，$AC = 4x = 8$。
$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CH$，
$\therefore \frac{1}{2} × 8 × 6 = \frac{1}{2} × 10 · CH$，解得$CH = \frac{24}{5}$。
$\therefore AB$的长为$10$，$CH$的长为$\frac{24}{5}$。

11. 如图，在正方形$ABCD$中，$M$是$AD$边的中点，$BE=3AE$，求$sin\angle ECM$的值.

答案： 11.解：根据题意设$AE = x$，则$BE = 3x$，$BC = CD = 4x$，$AM = DM = 2x$，
$\therefore CE = \sqrt{(3x)^{2} + (4x)^{2}} = 5x$，$EM = \sqrt{x^{2} + (2x)^{2}} = \sqrt{5}x$，
$CM = \sqrt{(2x)^{2} + (4x)^{2}} = 2\sqrt{5}x$，$\therefore EM^{2} + CM^{2} = CE^{2}$，
$\therefore \triangle CEM$是直角三角形，且$\angle EMC = 90^{\circ}$，
$\therefore \sin \angle ECM = \frac{EM}{CE} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。

12. 如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$CD\bot AB$，垂足为$D$，$AD=2$，$BD=6$，$tanB=\frac{2}{3} $，$E$是边$BC$的中点.
(1)求边$AC$的长；
(2)求$\angle EAB$的正弦值.

答案：
12.解：
(1)$\because CD \perp AB$，$\therefore \triangle ACD$，$\triangle BCD$均为直角三角形。
在$Rt\triangle CDB$中，$\because BD = 6$，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{2}{3}$，$\therefore CD = 4$，
在$Rt\triangle CDA$中，$AC = \sqrt{CD^{2} + AD^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}$。
(2)如答图，过点$E$作$EF \perp AB$，垂足为$F$。

$\because CD \perp AB$，$EF \perp AB$，$\therefore CD // EF$。
又$\because E$是边$BC$的中点，$\therefore EF$是$\triangle BCD$的中位线，
$\therefore DF = \frac{1}{2}BD = 3$，$EF = \frac{1}{2}CD = 2$，
$\therefore AF = AD + DF = 5$。
在$Rt\triangle AEF$中，$AE = \sqrt{AF^{2} + EF^{2}} = \sqrt{5^{2} + 2^{2}} = \sqrt{29}$，
$\therefore \sin \angle EAB = \frac{EF}{AE} = \frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{29}$。

13. 如图，小正方形的面积为$20$，大正方形的面积为$100$，求$sin\theta·cos\theta$.

答案：
13.解：设小正方形边长为$CD$，大正方形边长为$AB$。

$\because$小正方形的面积为$20$，大正方形的面积为$100$，$\therefore$小正方形的边长是$2\sqrt{5}$，大正方形的边长是$10$，即$AB = 10$，$CD = 2\sqrt{5}$，$\therefore AC = 10\cos \theta$，
$BC = 10\sin \theta$。
$\because CD = AC - AD = AC - BC = 2\sqrt{5}$，
$\therefore 10\cos \theta - 10\sin \theta = 2\sqrt{5}$，$\therefore \cos \theta - \sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore (\sin \theta - \cos \theta)^{2} = \frac{1}{5}$，$\therefore \sin^{2} \theta - 2\sin \theta · \cos \theta + \cos^{2} \theta = \frac{1}{5}$，$\therefore 1 - 2\sin \theta · \cos \theta = \frac{1}{5}$，
$\therefore \sin \theta · \cos \theta = \frac{2}{5}$。