《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

2.(2024·宿迁)在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动.
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片 ABCD，得到折痕 AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边 AD 上选一点 E，沿 BE 折叠，使点 A 落在正方形内部，得到折痕 BE；
操作三：如图③，在边 CD 上选一点 F，沿 BF 折叠，使 BC 与边 BA 重合，得到折痕 BF.
把正方形纸片展平，得图④，折痕 BE，BF 与 AC 的交点分别为 G，H.
根据以上操作，得∠EBF =45°.
【探究证明】
(1)如图⑤，连接 GF，试判断△BFG 的形状并证明；
(2)如图⑥，连接 EF，过点 G 作 CD 的垂线，分别交 AB，CD，EF 于点 P，Q，M.
求证：EM = MF.
【深入研究】
若$\frac{AG}{AC}=\frac{1}{k}$，请求出$\frac{GH}{HC}$的值(用含 k 的代数式表示).

答案：
[操作判断]45
[探究证明]
(1)解:△BFG为等腰直角三角形,证明如下:由题意可得∠EBF=45°,
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠ACD=45°.
∵∠EBF=45°,
∴∠EBF=∠ACD.
∵∠BHG=∠CHF,
∴△BHG∽△CHF,
∴$\frac{BH}{CH}$=$\frac{HG}{HF}$,
∴$\frac{BH}{HG}$=$\frac{CH}{HF}$.
∵∠GHF=∠BHC,
∴△BHC∽△GHF,
∴∠BCH=∠GFH=45°,
∴△GBF为等腰直角三角形.
(2)证明:
∵△GBF为等腰直角三角形，
∴∠BGF=90°,BG=FG.
∵PQ⊥CD,
∴PQ⊥AB,
∴∠BPG=∠GQF=90°,
∴∠PBG+∠BGP=∠BGP+∠QGF=90°,
∴∠PBG=∠QGF,
∴△PBG≌△QGF(AAS),
∴∠PGB=∠GFQ.
∵PQ//AD,
∴∠PGB=∠AEB.
由翻折知∠AEB=∠BEF,
∵∠PGB=∠EGQ,
∴∠BEF=∠EGQ,
∴EM=GM.
∵∠BEF+∠EFG=∠EGQ+∠FGQ=90°,
∴∠EFG=∠FGQ,
∴MG=MF,
∴EM=MF.
[深入研究]解:将△AGB旋转至△BNC,连接HN,如答图.
　　　　　　　　
∴△AGB≌△CNB,
∴∠1=∠2,∠BAC=∠BCN=45°,
AG=CN,BG=BN.
∵∠ACB=45°,
∴∠HCN=90°,
∴CH²+CN²=HN².
∵∠1=∠2,∠EBF=45°,
∴∠NBH=∠2+∠CBH=∠1+∠CBH=45°,
∴∠GBH=∠NBH.
∵BH=BH,
∴△GBH≌△NBH(SAS),
∴GH=NH,
∴CH²+AG²=GH²,
由
(2)知△PBG≌△QGF,四边形APQD为矩形，
∵∠BAC=45°,
∴AP=PG=DQ=FQ,设AP=PG=DQ=FQ=a,
∴AG=$\sqrt{2}$a.
∵$\frac{AG}{AC}$=$\frac{1}{k}$,
∴AC=$\sqrt{2}$ka,
∴GH+HC=AC−AG=$\sqrt{2}$a(k−1).
∵CH²+AG²=GH²,
∴GH²−CH²=(CH+GH)(GH−CH)=2a²,
∴GH−CH=$\frac{\sqrt{2}a}{k−1}$,
解得GH=$\frac{\sqrt{2}a(k²−2k+2)}{2k−2}$,CH=$\frac{\sqrt{2}a(k²−2k)}{2k−2}$,
∴$\frac{GH}{CH}$=$\frac{k²−2k+2}{k²−2k}$.