《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

6. (2024·南通期末)如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽$AB$为$8\ m$，拱高为$4\ m$.该隧道为双向车道，且两车之间有$0.4\ m$的隔离带，一辆宽为$2\ m$的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于$0.5\ m$的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是2.29$m$.

答案： 6.2.29

7. 如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分.甲在点$O$正上方$1\ m$的$P$处发出一球，已知点$O$与球网的水平距离为$5\ m$，球网的高度为$1.55\ m$.当羽毛球在水平方向上运动$4\ m$时，达到最大高度$2\ m$.
(1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式；
(2)通过计算判断此球能否过网；
(3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为$\frac{23}{16}\ m$的$Q$处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离.

答案： 7.解:
(1)根据题意，知抛物线的顶点坐标为(4,2)，与y轴交点的坐标为(0,1)，
　设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y = a(x - 4)² + 2，把(0,1)代入，得1 = 16a + 2，解得a = -$\frac{1}{16}$，
∴y = -$\frac{1}{16}$(x - 4)² + 2 = -$\frac{1}{16}$x² + $\frac{1}{2}$x + 1，
∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y = -$\frac{1}{16}$x² + $\frac{1}{2}$x + 1.
(2)在y = -$\frac{1}{16}$x² + $\frac{1}{2}$x + 1中，令x = 5，得y = -$\frac{25}{16}$ + $\frac{5}{2}$ + 1 = 1.9375，
∵1.9375 ＞ 1.55，
∴此球能过网.
(3)在y = -$\frac{1}{16}$x² + $\frac{1}{2}$x + 1中，令y = $\frac{23}{16}$，得$\frac{23}{16}$ = -$\frac{1}{16}$x² + $\frac{1}{2}$x + 1，解得x = 1(舍去)或x = 7，
∵7 - 5 = 2(m)，
∴此时乙与球网的水平距离为2m.

8. (2024·武汉)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为$x$轴，垂直于地面的直线为$y$轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线$y = ax^{2} + x$和直线$y = -\frac{1}{2}x + b$.其中，当火箭运行的水平距离为$9\ km$时，自动引发火箭的第二级.

(1)若火箭第二级的引发点的高度为$3.6\ km$.
①求$a,b$的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低$1.35\ km$，求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出$a$满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过$15\ km$.

答案： 8.解:
(1)①
∵抛物线y = ax² + x经过点(9,3.6)，
∴81a + 9 = 3.6，解得a = -$\frac{1}{15}$，
∵直线y = -$\frac{1}{2}$x + b经过点(9,3.6)，
∴3.6 = -$\frac{1}{2}$×9 + b，解得b = 8.1.
　②由①，得y = -$\frac{1}{15}$x² + x = -$\frac{1}{15}$(x² - 15x + $\frac{225}{4}$) + $\frac{15}{4}$ = -$\frac{1}{15}$(x - $\frac{15}{2}$)² + $\frac{15}{4}$(0≤x≤9)，
∴火箭运行的最高点的高度是$\frac{15}{4}$km，
∴$\frac{15}{4}$ - 1.35 = 2.4(km)，
∴2.4 = -$\frac{1}{15}$x² + x，整理，得x² - 15x + 36 = 0，解得x₁ = 12(不合题意，舍去)，x₂ = 3.
　由①，得y = -$\frac{1}{2}$x + 8.1(9 ＜ x ≤ 16.2)，
∴2.4 = -$\frac{1}{2}$x + 8.1，解得x = 11.4，
∴11.4 - 3 = 8.4(km).
　答:这两个位置之间的距离为8.4km.
(2)当 -$\frac{2}{27}$ ＜ a ＜ 0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.