《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

9. ($2025·$泗阳县模拟)若函数$y = mx^{2} + 2x + 1$的图像与$x$轴只有一个公共点，则常数$m$的值是0或 1.

答案： 9.0或 1

10. 当$a$＜-\frac{1}{4}时，二次函数$y = ax^{2} + 2x - 4$的函数值总是负值.

答案： $10.＜-\frac{1}{4}$

11. 已知二次函数$y = x^{2} - 2mx + 2m^{2} + 1$($m$是常数).
(1)求证：不论$m$为何值，该函数的图像与$x$轴没有公共点；
(2)如果把该函数图像沿$y$轴向下平移$3$个单位长度后，得到的函数图像与$x$轴只有一个公共点，求$m$的值.

答案： 11.
(1)证明：$\because b^{2}-4ac=4m^{2}-4(2m^{2}+1)=-4m^{2}-4＜0，$
$\therefore $不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴没有公共点。
(2)解：$\because y=x^{2}-2mx+2m^{2}+1=(x-m)^{2}+m^{2}+1，$
$\therefore $抛物线的顶点坐标为$(m,m^{2}+1)。$
$\because $把该函数图像沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数图像与 x 轴只有一个公共点，
$\therefore m^{2}+1=3，$解得$ m_{1}=\sqrt{2},m_{2}=-\sqrt{2}，$
即 m 的值为$\pm\sqrt{2}。$

12. ($2024·$崇文期末)如图，二次函数$y = ax^{2} + 4x + c$的图像与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，其中$A( - 1,0)$，$C(0,5)$.
(1)求点$B$的坐标；
(2)连接$BC$，现将二次函数$y = ax^{2} + 4x + c$的图像向下平移$m$个单位长度，使得顶点恰好落在线段$BC$上，请求出此时$m$的值.

答案： 12.解：
(1)将(-1,0)和(0,5)代入$ y=ax^{2}+4x+c $中，
得$ \begin{cases}a-4+c=0,\\c=5,\end{cases} $
解得$ \begin{cases}a=-1,\\c=5,\end{cases} $
$\therefore $函数表达式为$ y=-x^{2}+4x+5，$对称轴为直线$ x=-\frac{4}{2×(-1)}=2。$
$\because A(-1,0)，$$\therefore $点 B 的坐标为(5,0)。
$(2)\because y=-x^{2}+4x+5=-(x-2)^{2}+9，$$\therefore $抛物线的顶点坐标为(2,9)。
由
(1)可知 B(5,0)，易得直线 BC 的表达式为 y=-x+5，
平移后的顶点为(2,9-m)，由题意可得 9-m=-2+5，
解得 m=6。

13. 已知函数$y = mx^{2} - (m + 3)x + 3$($m$是常数).
(1)求证：不论$m$为何值，该函数的图像都经过$x$轴上的一个定点；
(2)若$m＞0$，且该函数图像的顶点坐标为$(p$，$q)$，求$q$的最大值；
(3)若一次函数$y = x - 1$的图像与该函数的图像恰好只有一个交点，求$m$的值及这个交点的坐标.

答案： 13.
(1)证明：当 m=0 时，函数为 y=-3x+3=-3(x-1)，
$\therefore $当 x=1 时,y=0。
当$ m\neq0 $时，函数为$ y=mx^{2}-(m+3)x+3=(x-1)·(mx-3)，$$\therefore $当 x=1 时,y=0。
$\therefore $不论 m为何值，该函数的图像都经过 x 轴上的一个定点(1,0)。
(2)解：依题意，得$ q=\frac{4m×3-[- (m+3)]^{2}}{4m}=-\frac{(m-3)^{2}}{4m}=-\frac{1}{4m}(m-3)^{2}。$
$\because m＞0,\therefore q $的最大值为0。
(3)解：当 m=0 时，两个函数均为一次函数且比例系数不同，必有一个交点，列方程组，得$ \begin{cases}y=-3x+3,\\y=x-1,\end{cases} $
解得$ \begin{cases}x=1,\\y=0,\end{cases} $即交点坐标为(1,0)。
当$ m\neq0 $时，把 y=x-1 代入$ y=mx^{2}-(m+3)x+3，$得$ x-1=mx^{2}-(m+3)x+3，$
整理，得$ mx^{2}-(m+4)x+4=0。$
$\because $两个函数的图像只有一个交点，
$\therefore (m+4)^{2}-4×4m=0，$解得 m=4。
把 m=4 代入方程$ mx^{2}-(m+4)x+4=0，$
得$ x^{2}-2x+1=0，$解得 x=1。
把 x=1 代入一次函数 y=x-1，得 y=0，即两个函数的图像的交点坐标为(1,0)。
故当 m=0或 m=4 时，一次函数 y=x-1 的图像与该
函数的图像恰好只有一个交点，两个函数图像的交点坐标为(1,0)。