《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

5. 图①为手机支架实物图，图②为它的侧面示意图，“L 型”托架 $A-C-E$ 用于放置手机，支架 $BD$ 两端分别与托架和底座 $MN$(其厚度忽略不计)相连，支架 $B$ 端可调节旋转角度，已知 $BD = 6 cm$，$AB = 2BD = 4BC$，支架调整到图②位置时，$\angle BDM = 60°$，$\angle ABD = 120°$. 因实际需要，现将支架 $B$ 端角度调整为 $\angle ABD = 150°$，如图③所示，则点 $A$ 的位置较原来的位置上升的高度为(12 - 6$\sqrt{3}$)$ cm$.

答案： 5.(12 - 6$\sqrt{3}$)

6. (2024·乐山改编)有一架秋千，当它静止时，踏板离地 $1$ 尺，将它往前推进 $10$ 尺(5 尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为 $5$ 尺.(假设秋千的绳索拉的很直)
(1)如图①，请你计算秋千绳索 $OA$ 的长度.
(2)如图②，将秋千从与竖直方向夹角为 $\alpha$ 的位置 $OA'$ 释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为 $\beta$ 的地方 $OA''$，两次位置的高度差 $PQ = h$. 根据上述条件能否求出秋千绳索 $OA$ 的长度？如果能，请用含 $\alpha, \beta$ 和 $h$ 的式子表示；如果不能，请说明理由.

答案：
6. 解：
(1)如答图，过点 A'作 A'B⊥OA 于点 B.

设秋千绳索的长度为 x 尺。
由题可知，OA=OA'=x 尺，AB=5 - 1=4(尺)，A'B=10 尺，
∴OB=OA - AB=(x - 4)尺。
在 Rt△OA'B 中，由勾股定理，得 A'B²+OB²=OA'²，
∴10²+(x - 4)²=x²，解得 x=14.5。
答：秋千绳索 OA 的长度为 14.5 尺。
(2)能。
由题可知，∠OPA'=∠OQA''=90°，OA'=OA''=OA。
在 Rt△OA'P 中，cosα=$\frac{OP}{OA'}$，
∴OP=OA'·cosα=OA·cosα，
同理，OQ=OA''·cosβ=OA·cosβ。
∵OQ - OP=h，
∴OA·cosβ - OA·cosα=h，
∴OA=$\frac{h}{cosβ - cosα}$。

7. (2024·苏州)图①是某种可调节支撑架，$BC$ 为水平固定杆，竖直固定杆 $AB \perp BC$，活动杆 $AD$ 可绕点 $A$ 旋转，$CD$ 为液压可伸缩支撑杆，已知 $AB = 10 cm$，$BC = 20 cm$，$AD = 50 cm$.
(1)如图②，当活动杆 $AD$ 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆 $CD$ 的长度；(结果保留根号)
(2)如图③，活动杆 $AD$ 绕点 $A$ 由水平状态按逆时针方向旋转转角度 $\alpha$，且 $\tan\alpha = \frac{3}{4}$($\alpha$ 为锐角)，求此时可伸缩支撑杆 $CD$ 的长度.(结果保留根号)

答案：
7. 解：
(1)如答图①，过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E，

由题意，得 AB=CE=10 cm，BC=AE=20 cm。
∵AD=50 cm，
∴ED=AD - AE=50 - 20=30(cm)。
在 Rt△CED 中，CD=$\sqrt{CE²+DE²}$=$\sqrt{10²+30²}$ =10$\sqrt{10}$(cm)。
答：可伸缩支撑杆 CD 的长度为 10$\sqrt{10}$ cm。
(2)如答图②，过点 D 作 DF⊥BC，交 BC 的延长线于点 F，交 AD'于点 G，

由题意，得 AB=FG=10 cm，AG=BF，∠AGD=90°。
在 Rt△ADG 中，tanα=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∴设 DG=3x cm，则 AG=4x cm，在 Rt△ADG 中，
∴AD=$\sqrt{AG²+DG²}$=$\sqrt{(4x)²+(3x)²}$=5x(cm)。
∵AD=50 cm，
∴5x=50，解得 x=10，
∴AG=40 cm，DG=30 cm，
∴DF=DG+FG=30+10=40(cm)，BF=AG=40 cm。
∵BC=20 cm，
∴CF=BF - BC=40 - 20=20(cm)。
在 Rt△CFD 中，CD=$\sqrt{CF²+DF²}$=$\sqrt{20²+40²}$ =20$\sqrt{5}$(cm)。
答：此时可伸缩支撑杆 CD 的长度为 20$\sqrt{5}$ cm。