《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

7. 在每个小正方形的边长都为$1$的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形. 如图，$\triangle ABC$是$4 × 6$的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与$\triangle ABC$相似的格点三角形中，最大的三角形面积是4.5.

答案： 7.4.5

8. 如图，$\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE}$.
(1) 求证：$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$；
(2) 如果$\angle BAC = 90°$，$AB = 6$，$BC = 3\sqrt{5}$，$AE = 1$，求$DE$的长.

答案： 8.
(1)证明:
∵$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$，
∴$\triangle BAD\sim\triangle CAE$,
∴$\angle BAD=\angle CAE$，
∴$\angle BAC=\angle DAE$.
∵$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\triangle ADE\sim\triangle ABC$.
(2)解:
∵$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=6$,$BC=3\sqrt{5}$,
∴$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{45 - 36}=3$,
　由
(1)知$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{1}{3}=\frac{DE}{3\sqrt{5}}$,
∴$DE=\sqrt{5}$.

9. 如图，在四边形$ABCD$和四边形$A'B'C'D'$中，$\angle A = \angle A'$，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{DA}{D'A'}$. 试判断$\angle C$和$\angle C'$是否相等，并说明理由.

答案： 9.解:$\angle C=\angle C'$，理由如下:
∵$\angle A=\angle A'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{DA}{D'A'}$，
∴$\triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$，
∴$\frac{BD}{B'D'}=\frac{AB}{A'B'}$.
　又
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}$，$\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$，
∴$\triangle BCD\sim\triangle B'C'D'$，
∴$\angle C=\angle C'$.

10. 如图，点$O$，$O'$分别是$\triangle ABC$，$\triangle A'B'C'$的外心，连接$OC$，$O'C'$，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{OC}{O'C'}$，$\angle A = \angle A'$.
求证：$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$.

答案：
10.证明:如答图，连接OA,OB,O'A',O'B'
∵点O,O'分别是$\triangle ABC,\triangle A'B'C'$的外心，
∴OA=OB=OC，O'A'=O'B'=O'C'.
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{OA}{O'A'}=\frac{OB}{O'B'}，$
∴$\triangle OAB\sim\triangle O'A'B'，$
∴$\angle AOB=\angle A'O'B'$
∵$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB，$$\angle A'C'B'=\frac{1}{2}\angle A'O'B'，$
∴$\angle ACB=\angle A'C'B'$
∵$\angle BAC=\angle B'A'C'，$
∴$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'.$