《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

1. 如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为$(0,2)$，直线$y = \frac{3}{4}x - 3$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A$，$B$，$M$是直线$AB$上的一个动点，则$PM$长的最小值为4.

答案： 1.4

2. 如图，一次函数$y = - \frac{3}{4}x + 3$的图像与$x$轴，$y$轴分别相交于$A$，$B$两点，
点$C$在线段$AB$上以每秒 1 个单位长度的速度从点$B$向点$A$运动，同时点$D$在线段$AO$上以
同样的速度从点$A$向点$O$运动，运动时间为$t$秒.

(1)求线段$AB$的长；
(2)当$t$为何值时，$\triangle ACD$与$\triangle ABO$相似？并写出此时点$C$的坐标.

答案：
2.解:
(1)当$x=0$时，$y=3$，当$y=0$时，$x=4$，
∴$A(4,0)$，$B(0,3)$，
∴$OA=4$，$OB=3$，
∴$AB=5$。
(2)根据题意，得$BC=t$，$AC=5−t$，$AD=t$。
　若$\triangle ACD \sim \triangle ABO$，则$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AO}$，
　即$\frac{5−t}{5}=\frac{t}{4}$，解得$t=\frac{20}{9}$，
　此时$\angle ADC=\angle AOB$，
∴$CD// OB$，
∴点$C$的横坐标为$AO−AD=4−t=4−\frac{20}{9}=\frac{16}{9}$，
　把$x=\frac{16}{9}$代入$y=−\frac{3}{4}x+3$，得$y=\frac{5}{3}$，
∴$C(\frac{16}{9},\frac{5}{3})$。
　若$\triangle ACD \sim \triangle AOB$，则$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AO}$，即$\frac{t}{5}=\frac{5−t}{4}$，
　解得$t=\frac{25}{9}$，
∴$AC=5−t=\frac{20}{9}$。
　如答图，过点$C$作$CE \perp OA$于点$E$，则$\triangle ACE \sim \triangle ABO$，
∴$\frac{AE}{AO}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AE}{4}=\frac{\frac{20}{9}}{5}$，解得$AE=\frac{16}{9}$，
∴$OE=AO−AE=4−\frac{16}{9}=\frac{20}{9}$。
　又$\because \frac{CE}{OB}=\frac{AE}{AO}$，即$\frac{CE}{3}=\frac{\frac{16}{9}}{4}$，解得$CE=\frac{4}{3}$，
∴$C(\frac{20}{9},\frac{4}{3})$。
∴点$C$的坐标为$(\frac{16}{9},\frac{5}{3})$或$(\frac{20}{9},\frac{4}{3})$。
　　　　　　　　　　　　　

3. 如图，点$A$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图像上，点$B$在$x$轴负半轴上，直线$AB$交$y$轴于
点$C$，若$\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$，$\triangle AOB$的面积为$6$，则$k$的值为6.

答案： 3.6

4. 如图，点$A$，$B$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图像上，延长$AB$交$x$轴于点$C$，若$\triangle AOC$的面积
是$12$，且$B$是$AC$的中点，则$k =$8.

答案： 4.8

5. 已知反比例函数$y_{1} = \frac{9}{x}(x ＞ 0)$与$y_{2} = \frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图像如图所示，$B$为函数$y_{1}$图像上一点，连
接$OB$，交函数$y_{2}$的图像于点$A$，则$\frac{OA}{OB} =$$\frac{2}{3}$.

答案： 5.$\frac{2}{3}$