《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

10.(2024·泗洪县模拟)如图，抛物线$y=ax^{2}-3$和$y=-ax^{2}+3$都经过$x$轴上的$A$，$B$两点，两条抛物线的顶点分别为$C$，$D$.连接$AC$，$BC$，$AD$，$BD$，当四边形$ACBD$的面积为24时，求$a$的值.
]

答案： 10.解:由抛物线y = ax² - 3和y = -ax² + 3,得C(0, -3),
D(0, 3),
∴CD = 6.
∵S四边形ACBD = 24,AB⊥CD,
∴$\frac{1}{2}$AB·CD = 24,
∴AB = 8,
∴OA = OB = 4,
∴B(4, 0).
∵点B(4, 0)在抛物线y = -ax² + 3上,
∴ - 16a + 3 = 0,解得a = $\frac{3}{16}$.

11.已知二次函数$y=\frac {1}{3}x^{2}$的图像如图所示.
(1)当抛物线向右平移$m(m＞0)$个单位长度后，经过点$A(0,3)$，求$m$的值；
(2)画出平移后的图像；
(3)设两条抛物线相交于点$B$，点$A$关于新抛物线对称轴对称的点为$C$，试在新抛物线的对称轴上找出一点$P$，使$BP+CP$的距离最短，并求点$P$的坐标.
]

答案：
11.解:
(1)把抛物线y = $\frac{1}{3}$x²向右平移m个单位长度得到抛物线y = $\frac{1}{3}$(x - m)².
∵平移后抛物线经过点A(0, 3),
∴3 = $\frac{1}{3}$(0 - m)²,
　解得m₁ = 3,m₂ = -3(不合题意,舍去),
　　即m的值是3.
(2)抛物线y = $\frac{1}{3}$x²的顶点坐标是(0, 0),平移后抛物线y = $\frac{1}{3}$(x - 3)²的顶点坐标是(3, 0)，其图像如答图所示.
(3)如答图，连接BC,交抛物线y = $\frac{1}{3}$(x - 3)²的对称轴于点P.由题意，得$\begin{cases}y = \frac{1}{3}x²\\y = \frac{1}{3}(x - 3)²\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{3}{4}\end{cases}$
　则B($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{4}$).
∵平移后抛物线y = $\frac{1}{3}$(x - 3)²的对称轴是直线x = 3,
∴点A(0, 3)关于直线x = 3对称的点C的坐标为(6, 3).
∵点P在新抛物线的对称轴直线x = 3上，点B,C在直线x = 3的两侧,
∴当B,P,C三点共线时，BP + CP的距离最短.
　设直线BC的函数表达式为y = kx + b(k≠0),则$\begin{cases}\frac{3}{4} = \frac{3}{2}k + b\\3 = 6k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2}\\b = 0\end{cases}$
∴直线BC的函数表达式为y = $\frac{1}{2}$x,
　当x = 3时,y = $\frac{3}{2}$,
∴符合条件的点P的坐标为(3,$\frac{3}{2}$).

12.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线的顶点坐标是$(0,1)$，且过点$(-2,2)$，平行四边形$OABC$的顶点$A$，$B$在此抛物线上，$AB$与$y$轴相交于点$M$.已知点$C$的坐标是$(-4,0)$，$Q(x,y)$是抛物线上任意一点.
(1)求此抛物线的函数表达式及点$M$的坐标；
(2)在抛物线上是否存在点$Q$，使得$\triangle BAQ$的面积是$\triangle BMC$的面积的2倍？若存在，求此时点$Q$的坐标.
]

答案： 12.解:
(1)
∵抛物线的顶点坐标是(0, 1)，
∴设其函数表达式为y = ax² + 1.
∵抛物线过点(-2, 2),
∴2 = a×(-2)² + 1,解得a = $\frac{1}{4}$,
∴此抛物线的函数表达式为y = $\frac{1}{4}$x² + 1.
∵点C的坐标为(-4, 0),
∴OC = 4.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB = OC = 4,AB//OC.
　又
∵y轴是该抛物线的对称轴，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴MA = MB = 2,即点A的横坐标是2,
　则其纵坐标y = $\frac{1}{4}$×2² + 1 = 2,即点A的坐标为(2, 2),
故点M的坐标为(0, 2).
(2)存在.设△BAQ的边AB上的高为h.
∵S△BMC = $\frac{1}{2}$BM·OM = 2,
∴S△BAQ = 2S△BMC = $\frac{1}{2}$AB·h = 4,
∴h = 2,
∴点Q的纵坐标为4,
将y = 4代入y = $\frac{1}{4}$x² + 1,得x = ±2$\sqrt{3}$,
∴存在符合条件的点Q,此时点Q的坐标为(2$\sqrt{3}$, 4)或(-2$\sqrt{3}$, 4).