《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

6. 在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$和$\triangle A_1B_1C_1$的相似比为$1:2$,并且是关于原点$O$的位似图形,若点$A$的坐标为$(2, 4)$,则其对应点$A_1$的坐标是(4,8)或(−4,−8).

答案： 6.(4,8)或(−4,−8)

7. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$与$\triangle DEF$是位似图形,它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数,则位似中心的坐标为(3,1).

答案： 7.(3,1)

8. 如图,$\triangle OAB$与$\triangle OCD$是以点$O$为位似中心的位似图形,相似比为$2:3$,$\angle OCD = 90^{\circ}$,$\angle AOB = 60^{\circ}$,若点$B$的坐标是$(4, 0)$,则点$C$的坐标是($\frac{3}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$).

答案： 8.($\frac{3}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$)

9. (2025·安徽)如图,在由边长为$1$个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$,$\triangle ABC$的顶点和$A_1$均为格点(网格线的交点).已知点$A$和$A_1$的坐标分别为$(-1, -3)$和$(2, 6)$.
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$,并写出点$D$的坐标;
(2)以点$O$为位似中心,将$\triangle ABC$放大得到$\triangle A_1B_1C_1$,使得点$A$的对应点为$A_1$,请在所给的网格图中画出$\triangle A_1B_1C_1$.

答案：
9.解:
(1)如答图,点D即为所求.
　点D的坐标为(−2,−1).
　　　　　　
(2)如答图，△A₁B₁C₁即为所作.

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$P'$是边$AB$上一点,四边形$P'Q'M'N'$是正方形,点$Q'$,$M'$在边$BC$上,点$N'$在$\triangle ABC$内.连接$BN'$并延长交$AC$边于点$N$,过点$N$作$NM \perp BC$于点$M$,$NP \perp MN$交$AB$边于点$P$,过点$P$作$PQ \perp BC$于点$Q$.
(1)求证:四边形$PQMN$为正方形;
(2)若$\angle A = 90^{\circ}$,$AC = 1.5 m$,$\triangle ABC$的面积为$1.5 m^2$,求$PN$的长.

答案：
10.
(1)证明:
∵NM⊥BC,NP⊥MN,PQ⊥BC,
∴∠NMQ=∠PNM=∠PQM=90°,
∴四边形PQMN为矩形.
∵四边形P'Q'M'N'是正方形,
∴M'N'⊥BC,P'N'⊥M'N',
∴MN//M'N',PN//P'N',
∴$\frac{M'N'}{MN}$=$\frac{BN'}{BN}$,$\frac{P'N'}{PN}$=$\frac{BN'}{BN}$.
∴$\frac{P'N'}{PN}$=$\frac{M'N'}{MN}$,
而P'N'=M'N',
∴PN=MN,
∴四边形PQMN为正方形.
(2)解:作AD⊥BC于点D,AD交PN于点E,如答图，
∵S△ABC=1.5m²,AC=1.5m,∠BAC=90°,
∴$\frac{1}{2}$AB·AC=1.5m²,
∴AB=2m,
∴BC=　$\sqrt{2²+1.5²}$=2.5(m).
∵$\frac{1}{2}$BC·AD=1.5m²,
∴AD=$\frac{2×1.5}{2.5}$=$\frac{6}{5}$(m).
设PN=xm,则PQ=DE=xm,AE=($\frac{6}{5}$−x)m:
∵PN//BC,
∴△APN∽△ABC,
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{PN}{BC}$,即$\frac{\frac{6}{5}-x}{\frac{6}{5}}$=$\frac{x}{2.5}$,解得x=$\frac{30}{37}$,
即PN的长为$\frac{30}{37}$m.