《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

7. (2025·威海)已知点$(-2, y_1), (3, y_2), (7, y_3)$都在二次函数$y = -(x - 2)^2 + c$的图像上，则$y_1, y_2, y_3$的大小关系是 (C)

A.$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B.$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
C.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
D.$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$

答案： 7.C

8. 若抛物线$y = 2(x + 1)^2 + a$的顶点在直线$y = 2x$上，则$a$的值为$-2$。

答案： 8.$-2$

9. (1)将抛物线$y = (x - 1)^2 - 3$向上平移$2$个单位长度后经过原点；
(2)将抛物线$y = -(x - 1)^2 + 4$向左平移$m(m ＞ 0)$个单位长度后经过点$(-2, 0)$，则$m =$$1$或$5$。

答案： 9.
(1)$2$　
(2)$1$或$5$

10. 若抛物线$y = (x - 3)^2 + k$与$x$轴的两个交点之间的距离为$2$，则$k =$$-1$。

答案： 10.$-1$

11. 已知二次函数$y = 2(x + 1)^2 + m$的图像经过点$(0, -6)$。
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若$A(2, y_1)$和$B(a, y_2)$是此函数图像上的两点，且$y_1 ＜ y_2$，请结合函数图像，直接写出$a$的取值范围；
(3)若将该二次函数的图像平移，使平移后的新函数图像经过原点$O$，请写出一种平移方案。

答案： 11.解:
(1)将$(0,-6)$代入$y=2(x+1)^2+m$，得$2+m=-6$，解得$m=-8$，
所以二次函数的表达式为$y=2(x+1)^2-8$.
(2)$a$的取值范围是$a＞2$或$a＜-4$.
(3)把二次函数$y=2(x+1)^2-8$的图像向左平移$1$个单位长度，得到的新函数图像经过原点.(答案不唯一)

12. 如图，抛物线$y_1 = \frac{1}{2}(x - h)^2 + k$与$y_2 = a(x + 3)^2 - 1$交于点$A$，且两抛物线分别交$y$轴于点$P, Q$，过点$A$作$x$轴的平行线，分别交两条抛物线于点$B, C$。已知$B(3, 3), BC = 10$。

(1)求$a$的值；
(2)若点$(2, m), (3, n)$及$(4, p)$都在抛物线$y_1$上，判断$m, n, p$的大小关系，并说明理由；
(3)求线段$PQ$的长。

答案： 12.解:
(1)$\because B(3,3),BC=10,\therefore C(-7,3)$，
把$C(-7,3)$代入$y_2=a(x+3)^2-1$，得
$3=a(-7+3)^2-1$，解得$a=\frac{1}{4}$.
(2)$\because a=\frac{1}{4},\therefore y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$.
令$y_2=3$，得$3=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$，解得$x=1$或$x=-7$，$\therefore A(1,3)$，$\therefore h=\frac{1+3}{2}=2$，
$\therefore$抛物线$y_1=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$的对称轴是直线$x=2$.
$\because$点$(2,m),(3,n)$及$(4,p)$都在抛物线$y_1$上，抛物线$y_1=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$开口向上，
$\therefore m＜n＜p$.
(3)把$B(3,3)$代入$y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2+k$，得$k=\frac{5}{2}$，
$\therefore y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{5}{2}$.
令$x=0$，得$y_1=\frac{9}{2}$，$\therefore P(0,\frac{9}{2})$.
在$y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$中，令$x=0$，得$y_2=\frac{5}{4}$，
$\therefore Q(0,\frac{5}{4})$，$\therefore PQ=\frac{9}{2}-\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$.

13. 已知二次函数$y_1 = a(x - 2)^2 + k$，函数$y_1$与自变量$x$的部分对应值如下表。

(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图像向左平移$2$个单位长度，得到二次函数$y_2$的图像，分别在$y_1, y_2$的图像上取点$A(m, n_1), B(m + 1, n_2)$，试比较$n_1$与$n_2$的大小。

答案： 13.解:
(1)由表格可知，二次函数图像的顶点坐标为$(2,1)$，$\therefore k=1$.
把$(1,2)$代入$y_1=a(x-2)^2+1$，
得$2=a×(1-2)^2+1$，解得$a=1$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y_1=(x-2)^2+1=x^2-4x+5$.
(2)由题意，得$y_2=(x-2+2)^2+1=x^2+1$，
把$A(m,n_1),B(m+1,n_2)$分别代入$y_1,y_2$的函数表达式中，得$n_1=m^2-4m+5$，$n_2=(m+1)^2+1=m^2+2m+2$，$\therefore n_1-n_2=(m^2-4m+5)-(m^2+2m+2)=-6m+3$.
若$-6m+3＞0$，则$m＜\frac{1}{2}$；
若$-6m+3=0$，则$m=\frac{1}{2}$；
若$-6m+3＜0$，则$m＞\frac{1}{2}$.
$\therefore$当$m＜\frac{1}{2}$时，$n_1-n_2＞0$，即$n_1＞n_2$；
当$m=\frac{1}{2}$时，$n_1-n_2=0$，即$n_1=n_2$；
当$m＞\frac{1}{2}$时，$n_1-n_2＜0$，即$n_1＜n_2$.