《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

11. 抛物线 $y = ax^2$经过点 $A(2, 4)$，不求出 $a$ 的值，判断抛物线是否经过点 $B(-2, 4), C(-2, -4)$，并说明理由.

答案： 11.解：抛物线经过点$B( - 2,4)$，不经过点$C( - 2, - 4)$.理由：$\because$抛物线$y = ax^{2}$的对称轴为$y$轴，点$A(2,4)$，$B( - 2,4)$关于$y$轴对称，且抛物线经过点$A$，
$\therefore$抛物线经过点$B( - 2,4)$.
$\because$点$A(2,4)$在第一象限，$\therefore$抛物线开口向上，
$\therefore$抛物线在第一、二象限，
故不可能经过点$C( - 2, - 4)$.

12. 如图，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B, C$ 在二次函数 $y = \sqrt{3} x^2$ 的图像上，四边形 $OBAC$ 是菱形，$\angle OBA = 120°$，求点 $B$ 的坐标以及菱形 $OBAC$ 的面积.

答案：

解:连接 BC 交 OA 于点 P,如答图.

∵四边形 OBAC 是菱形,$∠OBA = 120^{\circ}$,

∴$∠BOC = 60^{\circ}$,$BC⊥OA$,$PA = OP$,$PC = PB$,

∴$∠BOP=\frac{1}{2}∠BOC = 30^{\circ}$.

设$B(t,\sqrt{3}t^{2})$,在$Rt△OBP$中,$OP = \sqrt{3}BP$,

∴$\sqrt{3}t^{2}=\sqrt{3}t$,解得$t_{1}=0$(舍去),$t_{2}=1$,
∴$B(1,\sqrt{3})$.

∵$BC = 2BP = 2$,$OA = 2OP = 2\sqrt{3}$,

∴菱形 OBAC 的面积为$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.

13. (2024·南师附中月考)如图，点 $A, B$ 在二次函数 $y = \frac{1}{4}x^2$ 的图像上，已知点 $A, B$ 的横坐标分别为 $-2, 4$，直线 $AB$ 与 $y$ 轴交于点 $C$，连接 $OA, OB$.
求: (1)直线 $AB$ 的函数表达式；
(2)$△AOB$ 的面积.

答案： 13.解：
(1)$\because$点$A$，$B$在二次函数$y = \frac{1}{4}x^{2}$的图像上，点$A$，$B$的横坐标分别为$- 2$，$4$，$\therefore A( - 2,1)$，$B(4,4)$.
设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b$，
$\therefore \begin{cases}- 2k + b = 1\\4k + b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y = \frac{1}{2}x + 2$.
(2)在$y = \frac{1}{2}x + 2$中，令$x = 0$，则$y = 2$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,2)$，$\therefore OC = 2$，
$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} × 2 × 2 + \frac{1}{2} × 2 × 4 = 6$.

14. 在平面直角坐标系中，由四条直线 $x = 1, x = 2, y = 1, y = 2$ 围成的正方形 $ABCD$ 如图所示.
(1)若抛物线 $y = ax^2$ 与正方形 $ABCD$ 有公共点，求该抛物线的函数表达式的二次项系数 $a$ 的取值范围；
(2)如果抛物线 $y = ax^2$ 与正方形 $ABCD$ 没有公共点，求 $a$ 的取值范围.

答案： 14.解：
(1)由$\lvert a \rvert$越大，抛物线开口越小，得
抛物线经过点$A$时，$a$的值最大，此时$2 = a × 1^{2}$，解得$a = 2$.
抛物线经过点$C$时，$a$的值最小，
此时$1 = a × 2^{2}$，解得$a = \frac{1}{4}$.
综上所述，当抛物线$y = ax^{2}$与正方形$ABCD$有公共点时，该抛物线的函数表达式的二次项系数$a$的取值范围为$\frac{1}{4} \leq a \leq 2$.
(2)由
(1)可得，当$a ＞ 2$或$0 ＜ a ＜ \frac{1}{4}$时，开口向上的抛物线$y = ax^{2}$与正方形$ABCD$没有公共点.
当$a ＜ 0$时，抛物线$y = ax^{2}$开口向下，与正方形$ABCD$没有公共点.
综上所述，当$a ＜ 0$或$0 ＜ a ＜ \frac{1}{4}$或$a ＞ 2$时，抛物线$y = ax^{2}$与正方形$ABCD$没有公共点.