《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

7.(2024·如东期末)已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$，自变量$x$与函数$y$的对应值如下表.

下列说法错误的是 (C)

A.$a ＜ 0$，$b ＞ 0$
B.$b^2 - 4ac ＞ 0$
C.不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$的解集是$-2 ＜ x ＜ 3$
D.$a + b \geq m(am + b)$($m$为任意实数)

答案： 7.C

8. 已知二次函数$y_1 = -x^2 + 5$与一次函数$y_2 = 2x + 2$. 若$y_1 ＞ y_2$，则$x$的取值范围为-3＜x＜1.

答案： 8.-3＜x＜1

9. 如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c$($a$，$b$，$c$为常数)交$x$轴于$A(-1,0)$，$B(2,0)$两点，则不等式$x^2 + \frac {b}{a}x + \frac {c}{a} ＞ 0$的解集为x＜-1或x＞2.

答案： 9.x＜-1或x＞2

10. 若二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像如图所示，则不等式$a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c ＜ 0$的解集为x＜0或x＞2.

答案： 10.x＜0或x＞2

11.(2024·镇江期末)已知$x = -2$和$x = 3$是关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$($a \neq 0$)的两个实数根，二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与$y$轴交点的纵坐标为6.
(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)若点$M(m^2 - 2m + 2,p)$，$N(m^2 - 2m + 3,q)$是二次函数$y = ax^2 + bx + c$图像上的两点，请比较$p$与$q$的大小；
(3)直接写出不等式$ax^2 + bx + c ＜ 6$的解集.

答案： 11.解：
(1)设该二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-3).
$\because $二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像与y轴交点的纵坐
标为6,
$\therefore $二次函数的图像经过点(0,6),将点(0,6)代入y=
a(x+2)(x-3),
得-6a=6,解得a=-1,
$\therefore $该二次函数的表达式为y=-(x+2)(x-3)=
$-x^{2}+x+6.$
$\because y=-x^{2}+x+6=-(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{25}{4},\therefore $顶点坐标
为$(\frac{1}{2},\frac{25}{4}).$
$(2)\because m^{2}-2m+2=(m-1)^{2}+1\geqslant1,m^{2}-2m+3=(m-$
$1)^{2}+2\geqslant2,(m^{2}-2m+3)-(m^{2}-2m+2)=1＞0,$
$\therefore \frac{1}{2}$＜m^{2}-2m+2＜m^{2}-2m+3,
\therefore p＞q.
(3)令$-x^{2}+x+6=6,$解得$x_{1}=0,x_{2}=1,$
$\therefore $不等式$ax^{2}+bx+c$＜6的解集为x＜0或x＞1.

12. 已知二次函数$y = x^2 - 2ax + 1 - a$.
(1)若二次函数的图像过点$(1,-1)$，结合图像，写出不等式$x^2 - 2ax + 1 - a ＞ 0$的解集；
(2)若二次函数的图像与坐标轴有两个交点，求$a$的值；
(3)若二次函数的图像上有两个不同的点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，且$x_1 + x_2 = -1$，求证：$y_1 + y_2 ＞ \frac {5}2$.

答案： 12.
(1)解：将(1,-1)代入二次函数$y=x^{2}-2ax+1-a,$得
$-1=1^{2}-2a+1-a,\therefore a=1,$
$\therefore $二次函数的表达式为$y=x^{2}-2x.$
令$x^{2}-2x=0,$解得$x_{1}=0,x_{2}=2.$
$\because $二次函数的图像开口向上,
$\therefore x^{2}-2ax+1-a＞0$的解集为x＜0或x＞2.
(2)解：$\because $二次函数的图像与坐标轴有两个交点,
$\therefore $图像的顶点在x轴上或经过坐标原点.
当顶点在x轴上时,令$x^{2}-2ax+1-a=0,$
则$b^{2}-4ac=(-2a)^{2}-4(1-a)=4a^{2}+4a-4=0,$
解得$a=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}.$
当$a=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$时,1-a＞0,满足题意.
当顶点经过坐标原点时,1-a=0,解得a=1.
当a=1时$,4a^{2}+4a-4=4＞0,$满足题意.
综上所述,a的值为$-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$-\frac{1-\sqrt{5}}{2}$或1.
(3)证明：$\because $点$ A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$是二次函数y=
$x^{2}-2ax+1-a$图像上的两点,
$\therefore y_{1}=x_{1}^{2}-2ax_{1}+1-a,y_{2}=x_{2}^{2}-2ax_{2}+1-a,$
$\therefore y_{1}+y_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2a(x_{1}+x_{2})+2-2a.$
$\because x_{1}+x_{2}=-1,\therefore x_{2}=-1-x_{1},$
$\therefore y_{1}+y_{2}=x_{1}^{2}+(-1-x_{1})^{2}+2a-2a+2=2x_{1}^{2}+2x_{1}+$
$3=2(x_{1}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{5}{2}.$
$\because $点A,B是二次函数图像上的两点$,\therefore x_{1}\neq x_{2}\neq-\frac{1}{2},$
$\therefore y_{1}+y_{2}=2(x_{1}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{5}{2}＞\frac{5}{2}.$