《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，$AB = 12$，$AE = 10$，$EC = 5$.
(1)求$AD$的长；
(2)求证：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.

答案： 10.
(1)解：由题意，得$\frac{AD}{12 - AD}=\frac{10}{5}，$解得AD = 8.
(2)证明：$\because\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}，$
$\therefore\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}$
$\therefore\frac{DB + AD}{AD}=\frac{EC + AE}{AE}，$即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}，$
$\therefore\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

11. 阅读理解：
已知：$a,b,c,d$都是不为$0$的数，且$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，求证：$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
证明：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
根据以上方法，解答下列问题：
(1)若$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，求$\frac{a+b}{b}$的值；
(2)若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且$a\neq b$，$c\neq d$，求证：$\frac{a - b}{a+b}=\frac{c - d}{c+d}$.

答案： 11.
(1)解：$\because\frac{a}{b}=\frac{3}{5}，$$\therefore\frac{a + b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}。$
(2)证明：$\because\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，$$\therefore\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1，$$\therefore\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}$
$\therefore\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}，$$\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}，$$\frac{a + b}{b}=\frac{c - d}{d}，$$\frac{c + d}{d}，$
$\therefore\frac{a - b}{a + b}=\frac{c - d}{c + d}$

12.设$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长，且$\frac{a - b}{b}=\frac{b - c}{c}=\frac{c - a}{a}$，判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由.

答案： 12.解：$\triangle ABC$为等边三角形，理由如下：
$\because a，$b，c是$\triangle ABC$的三边长，$\therefore a + b + c\neq0。$
$\because\frac{a - b}{b}=\frac{b - c}{c}=\frac{c - a}{a}，$
$\therefore\frac{a - b}{b}=\frac{b - c}{c}=\frac{c - a}{a}=\frac{a - b + b - c + c - a}{a + b + c}=0，$
$\therefore a - b = 0，$b - c = 0，c - a = 0，$\therefore a = b = c，$
$\therefore\triangle ABC$为等边三角形.