《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

4. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$DE\bot BC$ 于点 $E$，交 $AC$ 于点 $F$.
(1)图中与$\triangle ODF$相似的三角形有6个；
(2)若 $AC = 10$，$AD = 6$，求 $OF$ 的长.

答案： 4.
(1)6
(2)解:在菱形ABCD中,
∵BD⊥AC,AC = 10,AD = 6,
∴OC = OA = 5,
∴OD = $\sqrt{AD^{2}-OA^{2}} = \sqrt{6^{2}-5^{2}} = \sqrt{11}$.
∵AC⊥BD,DE⊥BC,
∴∠DOF = ∠CEF = 90°.
∵∠DFO = ∠CFE,
∴∠ODF = ∠ECF.
∵∠ECF = ∠DCO,
∴∠ODF = ∠DCO.
∵∠DOF = ∠COD,
∴△ODF∽△OCD,
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{OF}{OD}$,
∴$OD^{2}=OC· OF$,
即$(\sqrt{11})^{2}=5OF$,解得$OF=\frac{11}{5}$.

5. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB$为直角，$CD\bot AB$ 于点 $D$. 在 $Rt\triangle ADC$ 中，$E$ 是 $AC$ 边的中点，$ED$ 的延长线与 $CB$ 的延长线交于点 $F$.
（1）求证：$\triangle FDC\backsim\triangle FBD$；
（2）若 $FD = 6\sqrt{5}$，$FB = 10$，求 $BC$ 的长.

答案： 5.
(1)证明:
∵∠ACB为直角,CD⊥AB于点D,
∴∠ADC = ∠ACB = 90°,
∴∠FCD = ∠A = 90°−∠ACD.
∵E是AC边的中点,
∴DE = AE = CE=$\frac{1}{2}$AC,
∴∠FDB = ∠EDA = ∠A,
∴∠FCD = ∠FDB.
又
∵∠F = ∠F,
∴△FDC∽△FBD.
(2)解:由
(1)知△FDC∽△FBD,
∴$\frac{FD}{FC}=\frac{FB}{FD}$.
∵FD = 6$\sqrt{5}$,FB = 10,
∴FC=$\frac{FD^{2}}{FB}=\frac{(6\sqrt{5})^{2}}{10}=18$,
∴BC = FC - FB = 18 - 10 = 8.

6. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$AB$ 上的点，$AP\bot BE$ 于点 $P$.
（1）如图①，如果 $F$ 是 $AB$ 的中点，求证：$BP· BE = 2PF· BC$；
（2）如图②，如果 $AE = AF$，连接 $CP$，求证：$CP\bot FP$.

答案： 6.证明:
(1)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE = 90°.
∵AP⊥BE,
∴∠BPA = 90°,
∴∠BPA = ∠BAE;
∵∠PBA = ∠ABE,
∴△BPA∽△BAE,
∴$\frac{BA}{BE}=\frac{BP}{BA}$.
∵F是AB的中点,
∴BA = 2PF;
∵BA = BC,
∴$\frac{2PF}{BE}=\frac{BP}{BC}$,
∴BP·BE = 2PF·BC;
(2)
∵△BPA∽△BAE,
∴$\frac{BP}{BA}=\frac{AP}{AE}$,
∴$\frac{BP}{AP}=\frac{BA}{AE}$,
∵AE = AF,BA = BC,
∴$\frac{BP}{AP}=\frac{BC}{AF}$.
∵∠FAP + ∠ABP = ∠ABP + ∠CBP = 90°,
∴∠CBP = ∠FAP,
∴△CBP∽△FAP,
∴∠BPC = ∠APF,
∴∠FPC = ∠BPF + ∠BPC = ∠BPF + ∠APF = ∠BPA = 90°,
∴CP⊥FP.