《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

12. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90°$，点 $D$ 在 $AC$ 上，已知 $\angle BDC = 45°$，$BD = 10\sqrt{2}$，$AB = 20$. 求 $\angle ABD$ 的度数.

答案： 12.解:
∵在$Rt△BDC$中，∠BDC = 45°，∠C = 90°，$BD = 10\sqrt{2}$，
∴$BC = BD·\sin∠BDC = 10\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=10$。
∵∠C = 90°，$AB = 20$，
∴$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，
∴∠A = 30°，
∴∠ABD = ∠BDC - ∠A = 45° - 30° = 15°。

13. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 2$，$AC = 4$，$\angle A = 120°$，求 $BC$ 的长.

答案：
13.解:如答图，作$CD⊥AB$，交$BA$的延长线于点$D$，
　　则∠CDA = 90°。
∵∠CAB = 120°，
∴∠CAD = 60°，
∴∠ACD = 30°。
∵$AC = 4$，
∴$AD = 2$，$CD = 2\sqrt{3}$。
∵$AB = 2$，
∴$DB = DA + AB = 4$。
∵∠CDB = 90°，
∴由勾股定理，得$BC=\sqrt{DB^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=2\sqrt{7}$。
　　　　　　

14. 如图，一次函数 $y = \sqrt{3} x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{3\sqrt{3}}{x}$ 的图像在第一象限的交点为 $A(3, n)$.
(1)求 $m$ 与 $n$ 的值；
(2)设一次函数的图像与 $x$ 轴交于点 $B$，连接 $OA$，求 $\angle BAO$ 的度数.

答案：
14.解:
(1)
∵$y=\frac{3\sqrt{3}}{x}$的图像过点$A(3,n)$，
∴$n=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
∵一次函数$y=\sqrt{3}x + m$的图像过点$A(3,\sqrt{3})$，
∴$\sqrt{3}=3\sqrt{3}+m$，
∴$m=-2\sqrt{3}$。
(2)如答图，过点$A$作$AC⊥x$轴于点$C$，
　由
(1)可知，直线$AB$的函数表达式为$y=\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$，
∴$B(2,0)$，即$OB = 2$。
　又
∵$AC=\sqrt{3}$，$OC = 3$，
∴$BC = OC - OB = 3 - 2 = 1$，
∴$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2$，
　　　　　　　　　　　　　
∴$AB = OB$，
∴∠BAO = ∠AOB。
　在$Rt△OAC$中，
　$\tan∠AOB=\frac{AC}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB = 30°，
∴∠BAO = ∠AOB = 30°。

15. 如图，直线 $y = \sqrt{3} x + \sqrt{3}$与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于 $A$，$B$ 两点，$\angle OAB$ 的平分线与 $OB$ 的垂直平分线相交于点 $P$.
(1)求点 $P$ 的坐标；
(2)作 $\angle ABO$ 的平分线交 $AP$ 于点 $M$，判断 $\triangle PBM$ 的形状.

答案：
15.解:
(1)设$AP$交$OB$于点$G$，如答图。
∵直线$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$与$x$轴，$y$轴分别交于$A$，$B$两点，当$y = 0$时，$x = -1$，当$x = 0$时，$y=\sqrt{3}$，
∴$A(-1,0)$，$B(0,\sqrt{3})$，
∴$OA = 1$，$OB=\sqrt{3}$，
∴$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=2$，$\tan∠OAB=\frac{OB}{OA}=\sqrt{3}$，
∴∠OAB = 60°，
∴∠ABO = 30°。
∵$AP$是∠OAB的平分线，
∴∠BAP = ∠OAP = 30°，
∴$\frac{OG}{AG}=\frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$，$AG = BG$，
∴$OG=\frac{1}{2}BG=\frac{OB}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∵$PE$垂直平分$OB$，
∴$OE=\frac{1}{2}OB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$PE// OA$，
∴$EG = OE - OG=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，∠EPG = ∠OAP = 30°，
∴$PE=\sqrt{3}EG=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}$，
∴点$P$的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$。
(2)$△PBM$是等腰直角三角形；
　理由:连接$OP$，如答图，
　由
(1)得：$OE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$PE=\frac{1}{2}$，
∴∠POE = 30°，
∴∠OPE = 60°。
∵$PE$垂直平分$OB$，
∴$PB = PO$，
∴∠PBO = ∠POE = 30°，∠BPE = ∠OPE = 60°，
∴∠BPM = ∠BPE + ∠EPG = 90°。
∵$BM$是∠ABO的平分线，
∴∠MBG=\frac{1}{2}∠ABO = 15°，
∴∠PBM = 30° + 15° = 45°，
∴∠PMB = 45°，
∴$PB = PM$，
　即$△PBM$是等腰直角三角形。