《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

8. 如图，四边形$ABCD$是圆的内接四边形，$AB$，$DC$的延长线交于点$P$，若$C$是线段$PD$的中点，且$PD=6$，$PB=2$，那么$AB$的长为7.

答案： 8.7

9. 如图，在小正方形边长均为$1$的$4 × 4$的网格中，$\triangle ABC$的顶点均在格点上，边$AB$，$BC$分别与网格线交于点$D$，$E$，连接$AE$，与$CD$交于点$F$，则$CF=$$\frac{7}{3}$.

答案： 9.$\frac{7}{3}$

10. 如图，在Rt$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，以斜边$AB$上一点$O$为圆心，$OB$长为半径作$\odot O$，交$AC$于点$E$，交$AB$于点$D$，且$\angle BEC=\angle BDE$.
(1)求证：$AC$是$\odot O$的切线；

(2)连接$OC$交$BE$于点$F$，若$\frac{CE}{AE}=\frac{2}{5}$，求$\frac{OF}{CF}$的值.

答案：
10.
(1)证明:如答图，连接OE.
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB.
∵∠ACB=90°,
∴∠CBE+∠BEC=90°.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED=90°,
∴∠DBE+∠BDE=90°.
∵∠BEC=∠BDE,
∴∠CBE=∠DBE,
∴∠CBE=∠OEB,
∴OE//BC,
∴∠OEA=∠ACB=90°,
∴OE⊥AC;又
∵OE是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线.
(2)解:
∵OE//BC,
∴△AOE∽△ABC,
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$.
∵$\frac{CE}{AE}$=$\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{5}{7}$,
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{5}{7}$.
∵OE//BC,
∴△OEF∽△CBF,
　　　　　
∴$\frac{OF}{CF}$=$\frac{OE}{BC}$=$\frac{5}{7}$.

11. 如图，$AB$为$\odot O$的直径，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$BC＞AC$，点$P$是$\triangle ABC$的内心，连接$CP$并延长交$\odot O$于点$D$，交$AB$于点$E$，连接$BP$，$BD$.
(1)求证：$DB^2=DE · DC$；
(2)若$CE=5$，$DE=4$，求$DP$的长.

答案： 11.
(1)证明:由题意知，CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD.
∵∠ACD=∠ABD,
∴∠ABD=∠DCB.
　又
∵∠D=∠D,
∴△DBE∽△DCB,
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{DC}$,即DB²=DE·DC.
(2)解:
∵CE=5,DE=4,
∴CD=9,
　由
(1)知DB²=DE·DC,
∴DB²=4×9=36,
∴DB=6.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∵点P是△ABC的内心，
∴∠ACD=∠BCP=45°,∠CBP=∠EBP,
∴∠ABD=∠ACD=45°.
∵∠DPB=∠BCP+∠CBP=45°+∠CBP,∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+∠EBP,
∴∠DPB=∠DBP,
∴BD=DP,
∴DP=6.

12. 如图，$G$为$\triangle ABC$三条中线的交点，$CG \perp BG$，若$AG · BC=16$，求$\triangle BGC$面积的最大值.

答案：
12.解:如答图,过点G作GH⊥BC于点H,
∵G为△ABC三条中线的交点，
∴AG=2GD.
∵CG⊥BG,D是BC边的中点，
∴BC=2GD,
∴AG=BC.
∵AG·BC=16,
∴BC²=16,
∴BC=AG=4,
∴GD=$\frac{1}{2}$AG=2.
∵△GBC的面积为$\frac{1}{2}$BC·GH,
∴当GH最大时，△GBC的面积最大.
∵GH≤GD,
∴△BGC面积的最大值为$\frac{1}{2}$×4×2=4.