《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

1.(2024·江西)【综合与实践】
如图①，在 Rt△ABC 中，D 是斜边 AB 上的动点(不与点 A 重合)，连接 CD，以 CD 为直角边在 CD 的右侧造 Rt△CDE，∠DCE = 90°，连接 BE，$\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}=m$.
【特例感知】
(1)当 m = 1 时，BE 与 AD 之间的位置关系是AD⊥BE，数量关系是AD=BE.
【类比迁移】
(2)如图②，当 m≠1 时，猜想 BE 与 AD 之间的位置关系和数量关系，并证明你的猜想.
【拓展应用】
(3)在(1)的条件下，点 F 与点 C 关于边 DE 所在的直线对称，连接 DF，EF，BF，如图③. 已知 AC = 6，设 AD = x，四边形 CDFE 的面积为 y.
①求 y 与 x 的函数表达式，并求出 y 的最小值；
②当 BF = 2 时，请求出线段 AD 的长度.

答案：

(1)AD⊥BE　AD=BE
(2)解:猜想:BE=mAD,AD⊥BE.证明如下:
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE.
∵$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CB}{CA}$=m,
∴△ADC∽△BEC,
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=m,∠CBE=∠A,
∴BE=mAD.
∵∠A+∠ABC=90°,
∴∠CBE+∠ABC=90°,
∴∠ABE=90°,
∴AD⊥BE.
(3)解:①连接CF交DE于点O,如答图.
由
(1)知,AC=BC=6,∠ACB=90°,
∴AB=6$\sqrt{2}$,
∴BD=6$\sqrt{2}$−x.
由
(1)可知AD=BE=x,∠DBE=90°,
∴DE²=BD²+BE²=(6$\sqrt{2}$−x)²+x².
∵点F与点C关于边DE所在的直线对称，
∴DE垂直平分CF,
∴CE=EF,CD=DF.
∵CD=CE,
∴CD=DF=EF=CE.
又
∵∠DCE=90°,
∴四边形CDFE是正方形，
∴y=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{1}{2}$[(6$\sqrt{2}$−x)²+x²],
∴y与x的函数表达式为y=x²−6$\sqrt{2}$x+36(0＜x≤6$\sqrt{2}$).
∵y=x²−6$\sqrt{2}$x+36=(x−3$\sqrt{2}$)²+18(0＜x≤6$\sqrt{2}$),
∴当x=3$\sqrt{2}$时，y取得最小值，最小值为18.
②过点D作DH⊥AC于点H,连接OB,如答图.
则△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x,
∴CH=6−$\frac{\sqrt{2}}{2}$x.
易得OB=OE=OD=OC=OF,
∴OB=$\frac{1}{2}$CF,
∴∠CBF=90°.
∵BC=6,BF=2,
∴CF=$\sqrt{BC^{2}+BF^{2}}$=2$\sqrt{10}$,
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=2$\sqrt{5}$.
∵CH²+DH²=CD²,
∴(6−$\frac{\sqrt{2}}{2}$x)²+($\frac{\sqrt{2}}{2}$x)²=(2$\sqrt{5}$)²,
解得x=4$\sqrt{2}$或x=2$\sqrt{2}$,
∴线段AD的长度为4$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$.