《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

6.(2024·浦东新区期末)商家要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租.已知铺面两面靠墙，墙长分别为 8 米和 30 米，三间商铺都在沿街开一个 1 米宽的门，共用去板材 45 米(不计损耗).
(1)若三间商铺总面积为$180 m^2$，则每间商铺的长和宽分别是多少?
(2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大.已知商铺的租金为每月每平方米 200 元，请问小王每月需要付给经营者多少租金?

答案： 6.解：
(1)设垂直于墙的一边长$x$米，则$GB = BD = DF =\frac{45 + 3 - 3x}{3}=(16 - x)$米，
根据题意，得$3x(16 - x)=180$，整理，得$x^{2}-16x + 60 = 0$，解得$x_1 = 10$，$x_2 = 6$.
由题意，得$\begin{cases}x\leq8,\\16 - x\leq10.\end{cases}$解得$6\leq x\leq8$，
$\therefore x = 6$，$\therefore16 - x = 10$.
答：每间商铺的长为$10$米，宽为$6$米.
(2)设三间商铺的总面积为$y$平方米，$y = 3x(16 - x)=-3x^{2}+48x$，
$\because$抛物线的开口向下，对称轴为直线$x = 8.\because6\leq x\leq8$，
$\therefore x = 8$时，$y$最大，$y_{最大}=192$，$192×200 = 38400$(元).
答：小王每月需要付给经营者$38400$元租金.

7.(2024·烟台)每年 5 月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利 200 元时，每天可售出 60 辆；单价每降低 10 元，每天可多售出 4 辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 180 元.设每辆轮椅降价$x$元，每天的销售利润为$y$元.
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大? 最大利润为多少元?
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润 12160 元，请问这天售出了多少辆轮椅?

答案： 7.解：
(1)$y=(200 - x)(60 + 4×\frac{x}{10})$
$=-0.4x^{2}+20x + 12000$
$=-0.4(x^{2}-50x + 625)+12250$
$=-0.4(x - 25)^{2}+12250$.
$\because200 - x\geq180$，$\therefore x\leq20$.
$\therefore$当$x = 20$时，利润最大，最大利润为$-0.4×(20 - 25)^{2}+12250 = 12240$(元).
答：$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-0.4x^{2}+20x + 12000$.每辆轮椅降价$20$元时，每天的销售利润最大，最大利润为$12240$元.
(2)根据题意及
(1)，得$-0.4(x - 25)^{2}+12250 = 12160$，
解得$x_1 = 40$(不合题意，舍去)，$x_2 = 10$.
$\therefore$售出轮椅的辆数为$60 + 4×\frac{10}{10}=64$(辆).
答：这天售出了$64$辆轮椅.

8.(2025·内江)2025 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出 A，B 两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进 A 款 200 个，B 款 300 个，需花费 14000 元；购进 A 款 100 个，B 款 200 个，需花费 8000 元.
(1)求 A，B 两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元?
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过 12000 元的资金购进 A，B 两款“哪吒”纪念品共 400 个，那么至少需要购进 B 款纪念品多少个?
(3)在销售中，该商家发现每个 A 款纪念品售价 60 元时，可售出 200 个，售价每增加 1 元，销售量将减少 5 个.设每个 A 款纪念品售价$a(60\leq a\leq100)$元，$W$表示该商家销售 A 款纪念品的利润(单位：元)，求$W$关于$a$的函数表达式，并求出$W$的最大值.

答案： 8.解：
(1)设$A$款“哪吒”纪念品每个进价为$x$元，$B$款“哪吒”纪念品每个进价为$y$元，
由题意，得$\begin{cases}200x + 300y = 14000,\\100x + 200y = 8000.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 40,\\y = 20.\end{cases}$
答：$A$款“哪吒”纪念品每个进价为$40$元，$B$款“哪吒”纪念品每个进价为$20$元.
(2)设需要购进$B$款纪念品$m$个，则需要购进$A$款纪念品$(400 - m)$个，
由题意，得$40(400 - m)+20m\leq12000$，
解得$m\geq200$，$\therefore m$的最小值为$200$.
答：至少需要购进$B$款纪念品$200$个.
(3)由题意，得$W=(a - 40)[200 - 5(a - 60)]=(a - 40)·(200 - 5a + 300)=500a - 20000 - 5a^{2}+200a=-5(a - 70)^{2}+4500$，
$\because - 5＜0$，$60\leq a\leq100$，$\therefore$当$a - 70 = 0$，即$a = 70$时，$W$最
大，最大值为$4500$.