《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

6. 已知二次函数$y = -x^2 - 2x + c$.
(1)在$-5 \leq x \leq -1$的范围内$y$取得最大值$-5$，求$c$的值；
(2)在$2 \leq x \leq 4$的范围内$y$取得最小值$2$，求$c$的值；
(3)在$-3 \leq x \leq 2$的范围内$y$取得最大值$3$，求$c$的值；
(4)在$-3 \leq x \leq 2$的范围内$y$取得最小值$-5$，求$c$的值.

答案： 6.解：由题意，得抛物线开口向下，且对称轴为直线$x=-1$.
(1)当$-5\leqslant x\leqslant-1$时，在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x=-1$时，函数取得最大值$-5$.将$x=-1$，
$y=-5$代入$y=-x^{2}-2x+c$，得$-1+2+c=-5$，解得$c=-6$.
(2)当$2\leqslant x\leqslant4$时，在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x=4$时，函数取得最小值$2$，将$x=4$，$y=2$代入$y=-x^{2}-2x+c$，得$-16-8+c=2$，解得$c=26$.
(3)当$-3\leqslant x\leqslant2$时，由于$x=-1$在此范围内，因此当$x=-1$时，函数取得最大值$3$，将$x=-1$，$y=3$代入$y=-x^{2}-2x+c$，得$-1+2+c=3$，解得$c=2$.
(4)当$-3\leqslant x\leqslant2$时，由于$x=-1$在此范围内，且直线$x=2$到直线$x=-1$的距离较远，所以当$x=2$时，函数取得最小值$-5$，将$x=2$，$y=-5$代入$y=-x^{2}-2x+c$，得$-4-4+c=-5$，解得$c=3$.

7. 当$-2 \leq x \leq 1$时，二次函数$y = -(x - m)^2 + m^2 + 1$有最大值$4$，求实数$m$的值.

答案： 7.解：该抛物线的对称轴为直线$x=m$.
$\because-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x＜m$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞m$时，$y$随$x$的增大而减小.
当$m\geqslant1$时，$\because-2\leqslant x\leqslant1$，$\therefore$当$x=1$时，$y$取得最大值，即$-(1-m)^{2}+m^{2}+1=4$，解得$m=2$；
当$-2＜m＜1$时，$\because-2\leqslant x\leqslant1$，$\therefore$当$x=m$时，$y$取得最大值，即$m^{2}+1=4$，解得$m=-\sqrt{3}$或$m=\sqrt{3}$（不合题意，舍去）；
当$m\leqslant-2$时，$\because-2\leqslant x\leqslant1$，$\therefore$当$x=-2$时，$y$取得最大值，即$-(-2-m)^{2}+m^{2}+1=4$，
解得$m=-\frac{7}{4}$（不合题意，舍去）.
综上所述，实数$m$的值为$2$或$-\sqrt{3}$.

8. (2024·浙江)已知二次函数$y = x^2 + bx + c(b,c$为常数)的图像经过点$A(-2,5)$，对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点$B(1,7)$向上平移$2$个单位长度，向左平移$m(m ＞ 0)$个单位长度后，恰好落在二次函数$y = x^2 + bx + c$的图像上，求$m$的值；
(3)当$-2 \leq x \leq n$时，二次函数$y = x^2 + bx + c$的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，求$n$的取值范围.

答案： 8.解：
(1)$\because$二次函数$y=x^{2}+bx+c$，
$\therefore$该函数图像的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}$，解得$b=1$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^{2}+x+c$.
又$\because$图像经过点$A(-2,5)$，$\therefore4-2+c=5$，解得$c=3$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^{2}+x+3$.
(2)$\because$点$B(1,7)$向上平移$2$个单位长度，向左平移$m(m＞0)$个单位长度，$\therefore$平移后的点的坐标为$(1-m,9)$.
又$\because$点$(1-m,9)$在二次函数$y=x^{2}+x+3$的图像上，
$\therefore9=(1-m)^{2}+1-m+3$，
解得$m=4$或$m=-1$（不合题意，舍去），$\therefore m=4$.
(3)$\because y=x^{2}+x+3=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}$，
$\therefore$当$x=-\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值，最小值为$\frac{11}{4}$.
当$n＜-\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小.
$\therefore$当$x=-2$时，$y$取得最大值，为$4-2+3=5$；
当$x=n$时，$y$取得最小值，为$n^{2}+n+3$.
又$\because$最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，
$\therefore5-(n^{2}+n+3)=\frac{9}{4}$，解得$n=-\frac{1}{2}$（不合题意，舍去）.
当$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1$时，在$x=-\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值，为$\frac{11}{4}$
在$x=-2$时，$y$取得最大值，为$4-2+3=5$，
$\therefore$最大值与最小值的差为$5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$，符合题意；
当$n＞1$时，在$x=-\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值，为$\frac{11}{4}$，在$x=n$时，$y$取得最大值，为$n^{2}+n+3$，
又$\because$最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，
$\therefore n^{2}+n+3-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$，解得$n=-2$(不合题意，舍去)或$n=1$(不合题意，舍去).
综上，$n$的取值范围为$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1$.