《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

满足 $(\frac{1}{4})^{x - 4} ＞ 64$的 $x$的取值范围为$(-\infty,1)$。

答案： 解析：不等式$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x-4}＞64$，即$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x-4}＞\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-3}$，所以$x-4＜-3$，解得$x＜1$，则满足$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x-4}＞64$的$x$的取值范围为$(-\infty,1)$.答案：$(-\infty,1)$

.(教材 $P_{118}$ $T_{2}$改编)比较下列各组数的大小:
(1) $1.4^{0.3}$ 与 $1.4^{0.4}$；
(2) $0.3^{1.4}$ 与 $0.3^{1.5}$；
(3) $a^{-3.14}$ 与 $(\frac{1}{a})^{\pi}(a ＞ 0$ 且 $a \neq 1)$。
解：（1）因为函数$y=1.4^{x}$是$\mathbf{R}$上的增函数，而$0.3＜0.4$，所以$1.4^{0.3}＜1.4^{0.4}$.
（2）因为函数$y=0.3^{x}$是$\mathbf{R}$上的减函数，而$1.4＜1.5$，所以$0.3^{1.4}＞0.3^{1.5}$.
（3）当$a＞1$时，$y=a^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数，因为$-3.14＞-\pi$，故$a^{-3.14}＞a^{-\pi}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{\pi}$.当$0＜a＜1$时，$y=a^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，因为$-3.14＞-\pi$，故$a^{-3.14}＜a^{-\pi}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{\pi}$.

答案： 解：（1）因为函数$y=1.4^{x}$是$\mathbf{R}$上的增函数，而$0.3＜0.4$，所以$1.4^{0.3}＜1.4^{0.4}$.
（2）因为函数$y=0.3^{x}$是$\mathbf{R}$上的减函数，而$1.4＜1.5$，所以$0.3^{1.4}＞0.3^{1.5}$.
（3）当$a＞1$时，$y=a^{x}$在$\mathbf{R}$上是增函数，因为$-3.14＞-\pi$，故$a^{-3.14}＞a^{-\pi}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{\pi}$.当$0＜a＜1$时，$y=a^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，因为$-3.14＞-\pi$，故$a^{-3.14}＜a^{-\pi}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{\pi}$.

一 对数的概念
某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个再分裂成 4 个……

思考 1
分裂多少次得到的细胞个数为 8 和 256？
分裂3次得到8个细胞，分裂8次得到256个细胞
思考 2
依次类推,假如 1 个这样的细胞分裂 $ x $ 次得到的细胞个数为 $ N $,如何表示它们间的关系？
$N = 2^x$
思考 3
对于 $ 2^{x}= 3 $,$ 1.11^{x}= 2 $,$ 10^{x}= 5 $ 等这样的指数方程,你能求出方程的解吗？
方程$2^x = 3$的解为$x = \log_2 3$，方程$1.11^x = 2$的解为$x = \log_{1.11} 2$，方程$10^x = 5$的解为$x = \lg 5$。

答案： （思考1）分裂3次得到8个细胞，分裂8次得到256个细胞；（思考2）$N = 2^x$；（思考3）方程$2^x = 3$的解为$x = \log_2 3$，方程$1.11^x = 2$的解为$x = \log_{1.11} 2$，方程$10^x = 5$的解为$x = \lg 5$。