《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

思考 1
阅读教材 $P_{108}$ 探究,思考 $5^{\sqrt{2}}$ 是否是一个确定的实数？当√2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近√2时，5ˣ和5ʸ都趋向于同一个数5^√2，它是一个确定的实数.
思考 2
能否把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算？可以.

答案： 思考 1 提示 当√2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近√2时，5ˣ和5ʸ都趋向于同一个数5^√2，它是一个确定的实数. 思考 2 提示 可以.

例 1
计算下列各式的值.
(1) $4^{\sqrt{2}+1}\cdot 2^{3 - 2\sqrt{2}}$；
(2) $(\sqrt[3]{8^{\sqrt{3}}}×\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}})^{\sqrt{3}}$.
【解】（1）原式=2^(3+√2)·2^(-3+√2)=2^(√2+3-3+√2)=2^(2√2)=32. （2）原式=[(2⁴)^(√3/3)×3^(√3/3)]^(√3)= (2^(4√3/3)×3^(√3/3))^(√3)=2^(4√3/3×√3)×3^(√3/3×√3)=2⁴×3¹=24.

答案： 【解】（1）原式=2^(3+√2)·2^(-3+√2)=2^(√2+3-3+√2)=2^(2√2)=32. （2）原式=[(2⁴)^(√3/3)×3^(√3/3)]^(√3)= (2^(4√3/3)×3^(√3/3))^(√3)=2^(4√3/3×√3)×3^(√3/3×√3)=2⁴×3¹=24.

计算下列各式的值 (式中字母均是正数)：
(1) $(2^{\sqrt{3}}\sqrt{m^{\sqrt{3}}})^{2\sqrt{3}}$；
(2) $(\frac{\pi^{\sqrt{2}}}{\sqrt{\pi^{\sqrt{2}}}})^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.
解：
(1)原式=$(2^{\sqrt{3}}·m^{\sqrt{3}/2})^{2\sqrt{3}}=2^{\sqrt{3}·2\sqrt{3}}·m^{\sqrt{3}/2·2\sqrt{3}}=2^{6}·m^{3}=64m^{3}$.
(2)原式=$(π^{\sqrt{2}-\sqrt{2}/2})^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=π^{(\sqrt{2}-\sqrt{2}/2)·\frac{\sqrt{2}}{2}}=π^{(\sqrt{2}·\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}·\frac{\sqrt{2}}{2})}=π^{(1 - \frac{1}{2})}=π^{\frac{1}{2}}=\sqrt{π}$.

答案： 解：
(1)原式=(2^√2·m^(√2/2))^(√2)=2^(√2·√2)·m^(√2/2·√2)=2²·m¹=4m. （2）原式=(π^(√2-√2/2))^(√2/2)=π^((√2-√2/2)·√2/2)=π^(√2·√2/2 - √2/2·√2/2)=π^(2/2 - 2/4)=π^(1 - 1/2)=π^(1/2)=√π.