《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. (教材 $P_{109}$ 练习 $T_1$ 改编)
计算 $(\pi^{\sqrt{3}})^{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$ 的结果是(D)
A.$\pi$
B.$\sqrt{\pi}$
C.$-\pi$
D.$\frac{1}{\pi}$

答案： 解析：选D.(π⁵)^(-√π/5)=π^(5×(-√π/5))=π^(-√π).

2. (多选)
已知 $a + \frac{1}{a} = 4$,则 $a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = $(BC)
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$-\sqrt{2}$
D.$-2$

答案： 解析：选BC.因为a + 1/a=4，即a + a⁻¹=4，设t=a^(1/2)-a^(-1/2)，两边平方得t²=(a^(1/2))² - 2·a^(1/2)·a^(-1/2)+(a^(-1/2))²=a - 2 + a⁻¹=4 - 2=2，所以t=±√2，即a^(1/2)-a^(-1/2)=±√2.

3. (教材 $P_{110}T_6$ 改编)
某口罩厂今年 12 月份的产量是去年 12 月份产量的 $m(m＞1)$ 倍,则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是 $\underline{$\sqrt[12]{m} - 1$}$.

答案： 解析：设这一年该口罩厂产量的月平均增长率为x，去年12月份的产量为1.因为今年12月份的产量是去年12月份产量的m(m＞1)倍，所以(1 + x)¹²=m，即1 + x=m^(1/12)，即x=m^(1/12)-1. 答案：√[12]{m} - 1

4. 计算下列各式：
(1) $(\pi + 3\sqrt{3})^0 - (2^{-\sqrt{2}} × 4^{\sqrt{2}})^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} + \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$；
(2) $\frac{(2\sqrt[3]{2})^2 × (4^{\frac{\sqrt{2}}{2}} × 2^{\frac{\sqrt{2}}{3}})^{\sqrt{6}}}{2^{\sqrt{2}} × (2 × 4^{3\sqrt{3}})^{\frac{1}{3}}}$.
解：
(1)原式=1 - (2⁵)^(√2/2) + 2 - √3=1 - 2^(5×√2/2) + 2 - √3=1 - 2^(5√2/2) + 2 - √3=3 - 2^(5√2/2) - √3. （2）原式=(4×2^(2/3)×4^(√6/2)×2^(√6/3))/(2^√2×2^(1/3)×4^(√π/3))=(2²×2^(2/3)×(2²)^(√6/2)×2^(√6/3))/(2^√2×2^(1/3)×(2²)^(√π/3))=(2²×2^(2/3)×2^(√6)×2^(√6/3))/(2^√2×2^(1/3)×2^(2√π/3))=2^(2 + 2/3 + √6 + √6/3 - √2 - 1/3 - 2√π/3)=2^(2 + (2/3 - 1/3) + (√6 + √6/3) - √2 - 2√π/3)=2^(2 + 1/3 + (4√6)/3 - √2 - 2√π/3)=2^(7/3 + (4√6 - 2√π)/3 - √2).

答案： 解：
(1)原式=1 - (2⁵)^(√2/2) + 2 - √3=1 - 2^(5×√2/2) + 2 - √3=1 - 2^(5√2/2) + 2 - √3=3 - 2^(5√2/2) - √3. （2）原式=(4×2^(2/3)×4^(√6/2)×2^(√6/3))/(2^√2×2^(1/3)×4^(√π/3))=(2²×2^(2/3)×(2²)^(√6/2)×2^(√6/3))/(2^√2×2^(1/3)×(2²)^(√π/3))=(2²×2^(2/3)×2^(√6)×2^(√6/3))/(2^√2×2^(1/3)×2^(2√π/3))=2^(2 + 2/3 + √6 + √6/3 - √2 - 1/3 - 2√π/3)=2^(2 + (2/3 - 1/3) + (√6 + √6/3) - √2 - 2√π/3)=2^(2 + 1/3 + (4√6)/3 - √2 - 2√π/3)=2^(7/3 + (4√6 - 2√π)/3 - √2).

一 指数函数的概念
同学们,让我们来做个小游戏吧！将一张 A4 纸连续对折,设折叠 $ x $ 次后对应的层数为 $ y $。
思考 1
折叠 5 次后有多少层？
思考 2
折叠 $ x $ 次后 $ y $ 与 $ x $ 之间存在什么关系？
思考 3
对折后的面积 $ S $(假设原面积为 1)与折叠的次数 $ x $ 有什么关系？
思考 1 提示 y=2⁵=32(层). 思考 2 提示 y=2ˣ. 思考 3 提示 S=($\frac{1}{2}$)ˣ.

答案： 思考 1 提示 y=2⁵=32(层). 思考 2 提示 y=2ˣ. 思考 3 提示 S=($\frac{1}{2}$)ˣ.