《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

例1
(多选)如果 $a ＜ b ＜ 0$,$c ＜ d ＜ 0$,那么下面一定成立的是(BD)
A.$a + d ＜ b + c$
B.$ac ＞ bd$
C.$ac^2 ＞ bc^2$
D.$\frac{d}{a} ＜ \frac{c}{a}$

答案： 【解析】 对于 A,取a=-3,b=-2,c=-6,d=-5,满足由a＜b＜0,c＜d＜0,但a+d=b+c,故 A 不一定成立;对于 B,由a＜b＜0,c＜d＜0,得-a＞-b＞0,-c＞-d＞0,根据不等式的性质有ac＞bd,故 B 一定成立;对于 C,因ac²＜bc²,故 C 不成立;对于 D,由a＜b,c＞0,根据不等式性质有ac＜bc,故 D 一定成立.【答案】 BD

(1)(多选)已知 $a$,$b$,$c$,$d$ 均为实数,下列不等关系推导不成立的是(ABC)
A.若 $a ＞ b$,$c ＜ d$,则 $a + c ＞ b + d$
B.若 $a ＞ b$,$c ＞ d$,则 $ac ＞ bd$
C.若 $bc - ad ＞ 0$,$\frac{c}{a} - \frac{d}{b} ＞ 0$,则 $b ＜ 0$
D.若 $a ＞ b ＞ 0$,$c ＞ d ＞ 0$,则 $\sqrt{\frac{a}{d}} ＞ \sqrt{\frac{b}{c}}$

答案：
(1)解析:选 ABC.对于 A,若a＞b,c＜d,则-c＞-d,所以a-c＞b-d,但a+c与b+d的大小关系无法判断,可知 A 不成立,故 A 符合题意;对于 B,若b=c=0,则ac=bd=0,可知 B 不成立,故 B 符合题意;对于 C,若a＞0,bc-ad＞0,c/a - d/b=(bc-ad)/ab＞0,则ab＞0,b＞0,可知 C 不成立,故 C 符合题意;对于 D,若a＞b＞0,c＞d＞0,则√(a/d)＞0,√(b/c)＞0,√(a/d)/√(b/c)=√(ac/bd)＞1,所以√(a/d)＞√(b/c),可知 D 成立,故 D 不符合题意.

(2) 已知 $a ＜ b ＜ 0$,$c ＞ 0$,请用恰当的不等号或等号填空：$(a - 2)c \underline{＜} (b - 2)c$。

答案：
(2)解析:因为a＜b＜0,c＞0,则a-2＜b-2,由不等式的基本性质可得(a-2)c＜(b-2)c.答案:＜

例2
已知 $a ＞ b ＞ c$,且 $a + b + c = 0$,求证：$\frac{a}{c - a} ＞ \frac{a}{b - a}$。
【证明】 因为a＞b＞c,且a+b+c=0,可得a＞0,c＜0,所以c-a＜b-a＜0,所以(c-a)(b-a)＞0,可得1/[(c-a)(b-a)]＞0,又因为-(c-a)＞-(b-a)＞0,所以-(c-a)·1/[(c-a)(b-a)]＞-(b-a)·1/[(c-a)(b-a)]＞0,所以1/(a-b)＞1/(a-c)＞0,所以1/(b-a)＜1/(c-a)＜0,因为a＞0,由不等式的性质,可得a/(b-a)＜a/(c-a),故a/(c-a)＞a/(b-a).

答案： 【证明】 因为a＞b＞c,且a+b+c=0,可得a＞0,c＜0,所以c-a＜b-a＜0,所以(c-a)(b-a)＞0,可得1/[(c-a)(b-a)]＞0,又因为-(c-a)＞-(b-a)＞0,所以-(c-a)·1/[(c-a)(b-a)]＞-(b-a)·1/[(c-a)(b-a)]＞0,所以1/(a-b)＞1/(a-c)＞0,所以1/(b-a)＜1/(c-a)＜0,因为a＞0,由不等式的性质,可得a/(b-a)＜a/(c-a),故a/(c-a)＞a/(b-a).