《2025年新坐标同步练习高中数学必修第一册人教版》

1. 下列命题中是存在量词命题并且是真命题的是(B)
A.$ \forall x\in \mathbf{R},x^{2}+2x + 1\geqslant 0 $
B.$ \exists x\in \mathbf{N},2x + 1 $ 为奇数
C.所有菱形的四条边都相等
D.$ \pi $ 是无理数

答案： 选 B. 对于 A，该命题是全称量词命题，A 错误；对于 B，该命题是存在量词命题，取 x=0，$2x + 1 = 1$ 为奇数，为真命题，B 正确；对于 C，该命题是全称量词命题，C 错误；对于 D，该命题是真命题，但不是存在量词命题，D 错误.

2. 若命题 $ p $：有些三角形是锐角三角形,则(所有的三角形都不是锐角三角形)
A.$ p $ 是真命题,且 $ p $ 的否定：所有的三角形都不是锐角三角形
B.$ p $ 是真命题,且 $ p $ 的否定：所有的三角形都是锐角三角形
C.$ p $ 是假命题,且 $ p $ 的否定：所有的三角形都不是锐角三角形
D.$ p $ 是假命题,且 $ p $ 的否定：所有的三角形都是锐角三角形

答案： 选 p：有些三角形是锐角三角形为真命题，根据存在量词命题的否定为全称量词命题，所以 p 的否定为所有的三角形都不是锐角三角形.

3. 命题“$ \forall x\gt 0,x^{3}-x^{2}+1\leqslant 0 $”的否定是 $\exists x ＞ 0, x^3 - x^2 + 1 ＞ 0$。

答案： 由全称量词命题的否定可知，“$\forall x ＞ 0, x^3 - x^2 + 1 \leq 0$”的否定是“$\exists x ＞ 0, x^3 - x^2 + 1 ＞ 0$”. 答案：$\exists x ＞ 0, x^3 - x^2 + 1 ＞ 0$

[典例] 已知命题 $ p:\exists x\in \mathbf{R},x^{2}-4x + 4a = 0 $。当命题 $ \neg p $ 为假命题时,正实数 $ a $ 的取值集合为 $ A $。
(1) 求集合 $ A $；
(2) 设非空集合 $ B= \{ x\mid 2m - 3\lt x\lt m + 2\} $,若 $ x\in B $ 是 $ x\in A $ 的必要不充分条件,求实数 $ m $ 的取值范围。
（1）因为命题 p 为真命题，所以 $\Delta = 16 - 16a \geq 0$，解得 $a \leq 1$，又 $a ＞ 0$，所以 $A = \{a | 0 ＜ a \leq 1\}$. （2）因为 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件，所以 $A \subsetneqq B$，所以 $\begin{cases} 2m - 3 \leq 0, \\ 1 ＜ m + 2, \\ 2m - 3 ＜ m + 2, \end{cases}$ 解得 $-1 ＜ m \leq \frac{3}{2}$，故实数 m 的取值范围为 $\{m | -1 ＜ m \leq \frac{3}{2}\}$

答案： （1）因为命题 p 为真命题，所以 $\Delta = 16 - 16a \geq 0$，解得 $a \leq 1$，又 $a ＞ 0$，所以 $A = \{a | 0 ＜ a \leq 1\}$. （2）因为 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件，所以 $A \subsetneqq B$，所以 $\begin{cases} 2m - 3 \leq 0, \\ 1 ＜ m + 2, \\ 2m - 3 ＜ m + 2, \end{cases}$ 解得 $-1 ＜ m \leq \frac{3}{2}$，故实数 m 的取值范围为 $\{m | -1 ＜ m \leq \frac{3}{2}\}$

[跟踪训练] 已知 $ p:\left\{\begin{array}{l} 3x - 1\geqslant 5,\\ 0\lt x\leqslant 8,\end{array} \right. q:3m - 3\leqslant x\leqslant 2m + 1,m\leqslant 4 $,若 $ \neg p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件,则实数 $ m $ 的取值范围是 $\{m | \frac{11}{3} ＜ m \leq 4$，或 $m ＜ \frac{1}{2}\}$。

答案： 由 $\begin{cases} 3x - 1 \geq 5, \\ 0 ＜ x \leq 8 \end{cases}$，得 $2 \leq x \leq 8$，因此满足 $\neg p$ 对应的集合为 $\{x | x ＜ 2$ 或 $x ＞ 8\}$，因为 $\neg p$ 是 q 的必要不充分条件，所以集合 $\{x | 3m - 3 \leq x \leq 2m + 1, m \leq 4\}$ 是集合 $\{x | x ＜ 2$ 或 $x ＞ 8\}$ 的真子集，于是有 $\begin{cases} m \leq 4, \\ 3m - 3 ＞ 8 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m \leq 4, \\ 2m + 1 ＜ 2, \end{cases}$ 解得 $\frac{11}{3} ＜ m \leq 4$ 或 $m ＜ \frac{1}{2}$. 答案：$\{m | \frac{11}{3} ＜ m \leq 4$，或 $m ＜ \frac{1}{2}\}$